Distància

La distància és la longitud del camí més curt entre dues entitats. En matemàtiques, per a un conjunt d'elements $X$ es defineix formalment la distància com a qualsevol funció binària $d(a,b)$ de $X^{2}$ en $\mathbb {R}$ que compleixi les següents propietats:

• No negativitat: $d(a,b)\geq 0\ \forall a,b\in X$
• Simetricitat: $d(a,b)=d(b,a)\ \forall a,b\in X$
• Identitat dels indiscernibles: $d(a,b)=0\ \Leftrightarrow a=b\ \forall a,b\in X$
• Desigualtat triangular: $d(a,b)\leq d(a,c)+d(c,b)\ \forall a,b,c\in X$

El conjunt $X$ amb una distància definida sobre ell s'anomena espai mètric.

Aquestes propietats les compleix la distància euclidiana o geomètrica, que és la que correspon al concepte quotidià de distància, però hi ha altres distàncies que s'aparten d'aquest concepte. Vegeu exemples d'altres distàncies a l'article espai mètric.

Distància (física)

Es denomina distància entre dos punts A(x₁,y₁) i B(x₂,y₂) a la longitud del segment que uneix A i B. S'expressa matemàticament com:

$d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}$

La distància entre un punt P i una recta R és la longitud del camí més curt que uneix el punt P(x₁,y₁) amb la recta R = Ax + By + C. Matemàticament s'expressa com:

$d={\frac {Ax_{1}+By_{1}+C}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}$

La distància entre dues rectes paral·leles és la longitud del camí més curt entre una d'elles i un punt qualsevol de l'altra.

La distància entre un punt P i un pla L és la longitud del camí més curt entre el punt P(x₁,i₁,z₁) i el pla L = Ax + By + Cz + D. Matemàticament s'expressa:

$d={\frac {Ax_{1}+By_{1}+Cz_{1}+D}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}$

Generalitzacions

Article principal: Mètrica (matemàtiques)

En general, existeixen altres definicions de distància o mètrica en el pla euclidià o en altres conjunts. Una mètrica indueix una topologia sobre aquest conjunt. També és possible definir altres funcions, similars a la distància habitual, però amb condicions més febles, que tenen propietats especials.

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Distància

Viccionari