Distribució binomial

distribució de probabilitat

En Teoria de la probabilitat i Estadística, una variable aleatòria es diu que té una distribució binomial de paràmetres i si representa el nombre d'èxits en repeticions independents d'una prova que té probabilitat d'èxit . Per exemple, tirem 10 vegades un dau ordinari i comptem quantes vegades surt un 6; en aquest cas l'èxit és "treure un 6", i la variable que compta el nombre de sisos té una distribució binomial de paràmetres i .

La distribució binomial és, per les seves aplicacions, una de les distribucions discretes de probabilitat més importants, i fins i tot una de les més importants de l'estadística.

Va ser proposada pel matemàtic i físic suís Jacob Bernoulli.


Distribució de BernoulliModifica

Les distribucions binomials s'inscriuen en el marc de referència de les distribucions de Bernoulli. S'anomena experiència de Bernoulli aquell experiment aleatori del qual només s'estudia la verificació o no d'un esdeveniment   que pot donar-se amb probabilitat   La realització de l'esdeveniment   s'anomena èxit. S'acostuma a representar la probabilitat del complementari (no  ), la realització del qual s'anomena fracàs, per   és clar que  

Així, un experiment o experiència de Bernoulli es caracteritza per ser dicotòmic, és a dir, només són possibles dos resultats: èxit o fracàs.

Exemples d'experiències de Bernoulli

  1. En una bossa hi ha boles blanques, negres i vermelles. traiem una bola i mirem si és de color blanc o no. L'esdeveniment A seria "treure bola blanca"
  2. En un referèndum amb possibles respostes Sí o No, l'esdeveniment A podria ser "que surti Sí".

Distribució binomialModifica

Distribució binomial
 
Funció de distribució de probabilitat
 
Paràmetres  nombre d'assaigs (sencer)
  probabilitat d'èxit (real)
Suport 
FD 
Mitjana 
Mediana  o  [1]
Moda  o  
Variància 
Coeficient de simetria 
Curtosi 
Entropia 
FGM 
FC 

La distribució binomial és una distribució de probabilitat discreta que fa el recompte del nombre de vegades que es verifica l'èxit (realització de l'esdeveniment  ) quan es repeteix   vegades, de forma independent i en les mateixes condicions, una experiència de Bernouilli.

Per n = 1, la distribució binomial és una distribució de Bernoulli.

Designem per X la variable aleatòria que mesura el nombre d'èxits que s'han produït en els n experiments. Per indicar que segueix una distribució binomial de paràmetres n i p , s'escriu:

 


ExemplesModifica

Les següents situacions són exemples d'experiments que poden modelitzar per aquesta distribució:

  • Es llança un dau deu vegades i es compta el nombre de sisos obtinguts: X ~ B(10, 1/6)
  • Es llança una moneda dues vegades i es compta el nombre de cares obtingudes, tenim  
  • Una partícula es mou unidimensionalment amb probabilitat   de moure's una unitat de distància cap enrere i   de moure's una unitat cap endavant. Després de   moviments, el nombre de vegades que s'ha mogut cap endavant és una variable binomial   .

Funció de probabilitatModifica

Sigui   una variable aleatòria binomial de paràmetres   i   . Aleshores la probabilitat d'obtenir exactament   èxits en   repeticions (proves) independents de Bernouilli és:

 
on
 
és el coeficient binomial.

Així, la funció de probabilitat de   és

 

Mitjana i Variància d'una distribució binomial Modifica

 
Això es dedueix per la linealitat de l'esperança, ja que X és la suma de n variables aleatòries de Bernoulli idèntiques, cadascuna d'elles amb esperança p. És a dir, si   són variables aleatòries iguals (i independents) de Bernoulli amb paràmetre p, aleshores
 
i, atès que
 
tindrem que
 
D'altra banda, per a una variable de Bernoulli,
 
d'on
 
Llavors, de la independència de   , es dedueix que
 

Funció de distribucióModifica

 


on   denota la part entera de  .

ExempleModifica

Suposem que tenim una moneda trucada amb probabilitat 0.3 que surti cara. La probabilitat que surtin 4 cares en 6 llançaments és

 

Aproximació de la distribució binomial per les distribucions de Poisson i normalModifica

Si   tendeix a infinit i   és tal que  , llavors la distribució d'una variable aleatòria binomial de paràmetres   i  tendeix a una distribució de Poisson de paràmetre  .

D'altra banda, pel teorema central del límit, quan n és gran (normalment s'exigeix que  ) la distribució binomial es pot aproximar mitjançant la distribució normal.

Propietats reproductivesModifica

Donades m variables binomials independents   , i = 1, ..., m, de paràmetres   i  , repectivament, la seva suma S és també una variable binomial, de paràmetres   i  , és a dir,

 

ReferènciesModifica

  1. Hamza, K. (1995). The smallest uniform upper bound on the distance between the mean and the median of the binomial and Poisson distributions. Statistica & Probability Letters. 23 21-25.

Vegeu tambéModifica

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Distribució binomial