Distribució de Benktander

En teoria de la probabilitat i en estadística, la distribució de Benktander és una distribució de probabilitat contínua coneguda com dos tipus diferents: la distribució de Benktander de tipus I (o distribució de Benktander-Gibrat) i la distribució de Benktander de tipus II (o distribució de Benktander Weibull).

Distribució de Benktander

Tipus	distribució de probabilitat
Epònim	Gunnar Benktander
Paràmetres	$a>0\,$ ${\begin{cases}0\leq b&{\text{tipus I}}\\0<b\leq 1&{\text{tipus II}}\end{cases}}$
Suport	$x\in [1;+\infty [\,$
fdp	vegeu l'article
FD	vegeu l'article
Esperança matemàtica	$1+{\frac {1}{a}}$
Mediana	vegeu l'article
Variància	vegeu l'article

Aquestes lleis es va aparèixer originalment en un article de 1960 escrit per Benktander i Segerdahl. S'utilitzen principalment en l'economia.

Igual que la distribució de Pareto és una generalització de la distribució exponencial, les dues lleis de Benktander són generalitzacions d'aquesta distribució exponencial.

Si a $X_{I}$el segueix una distribució de Benktander de tipus I, s'escriurà $X_{I}\sim \mathrm {BenktanderI} (a,b)$; de la mateixa manera, per a una distribució de Benktander de tipus II s'escriurà $X_{II}\sim \mathrm {BenktanderII} (a,b)$

Origen

La distribució de Pareto és una distribució exponencial de paràmetre $\scriptstyle \log(x/x_{m})$, on $x_{m}$ és un paràmetre de posició. Apareix així un paràmetre d'escala exponencial: $e(x):={\frac {x}{x_{m}}}$.

Per reflectir millor els valors empírics econòmics, es defineixen altres dos paràmetres exponencials d'escala:

${\begin{cases}e_{I}(x)={\frac {x}{a+2b\log(x)}}&{\text{ per }}a>0{\text{ i }}0\leq b\\e_{II}(x)={\frac {x^{1-b}}{a}}&{\text{ per }}a>0{\text{ i }}0<b\leq 1\end{cases}}$

Aquests dos nous paràmetres defineixen els dos tipus de distribució de Benktander.

Definicions

Tipus I

Tipus II

Funció de distribució

Els dos canvis d'escala anteriors per definir les dues funcions distribució de les distribucions de Benktander de tipus I i II:.

• Per al tipus I :

$F_{I}(x)={\begin{cases}1-x^{-1-a-b{\mathrm {Log} [x]}}\left(1+{\tfrac {2b\mathrm {Log} [x]}{a}}\right)&{\text{ per }}x\geq 1\\0&{\text{ sinó.}}\end{cases}}$

• Per al tipus II :

$F_{II}(x)={\begin{cases}1-e^{{\frac {a}{b}}(1-x^{b})}x^{b-1}&{\text{ per }}x\geq 1\\0&{\text{ sió.}}\end{cases}}$

Tipus I

Tipus II

Densitat de la distribució

Per derivació s'aconsegueixen les dues densitats de les distribucions.

• Per al tipus I :

$f_{I}(x)={\begin{cases}x^{-2-a-b{\mathrm {Log} [x]}}\left(-{\tfrac {2b}{a}}+\left(1+a+2b\mathrm {Log} [x]\right)\left(1+{\tfrac {2b\mathrm {Log} [x]}{a}}\right)\right)&{\text{ per }}x\geq 1\\0&{\text{ sinó.}}\end{cases}}$

• Per al tipus II :

$f_{II}(x)={\begin{cases}e^{\tfrac {a(1-x^{b})}{b}}x^{-2+b}(1-b+ax^{b})&{\text{ per }}x\geq 1\\0&{\text{ sinó.}}\end{cases}}$

Propietats

La mitjana d'ambdós tipus són iguals a:

$\mathbb {E} [X]=1+{\frac {1}{a}}$.

Les variàncies són donades per:

$Var(X_{I})={\frac {-{\sqrt {b}}+ae^{\tfrac {(-1+a)^{2}}{4b}}{\sqrt {\pi }}\operatorname {erfc} \left({\tfrac {-1+a}{2{\sqrt {b}}}}\right)}{a^{2}{\sqrt {b}}}}$

i

$Var(X_{II})={\frac {-1}{a^{2}}}+{\frac {2e^{\tfrac {a}{b}}{\rm {E}}(1-{\tfrac {1}{b}},{\tfrac {a}{b}})}{ab}}$

on $X_{I}\sim \mathrm {BenktanderI} (a,b)$, $X_{II}\sim \mathrm {BenktanderII} (a,b)$, erfc és la funció d'error, i t $\scriptstyle {\rm {E}}(n,x)$ és l'exponencial integral generalitzada.

Relació amb altres lleis

• $\lim _{b\rightarrow 0}\mathrm {BenktanderI} (a,b)\sim Pareto(1,1+a)$

Bibliografia

• Benktander, G; Seherdahl, C.O. On the analytical representation of claim distributions with special reference to excess-of-loss reinsurance (en anglès). Trans. 16-th Intern. Congress Actuaries, 1960. 
• Benktander, Gunnar. Schadenverteilungen nach Grösse in der Nicht-Lebensversicherung [Les distribucions de pèrdua per grandàries d'assegurances dels morts] (en alemany), p. 263–283. 
• Kleiber, Christian; Kotz, Samuel. Statistical size distributions in economics and actuarial sciences (en anglès). Wiley-Interscience, 2003. ISBN 0-471-15064-9.