Distribució de Cauchy

En teoria de la probabilitat, s'anomena Distribució de Cauchy amb paràmetres $\ x_{0},\,\gamma$ i es denota per ${\mathcal {C}}(x_{0},\gamma )$ (on $x_{0}\in \mathbb {R}$ i $\gamma \in \,]0,\,+\infty [\,$) la distribució definida per la funció de densitat de probabilitat següent :

Cauchy

Funció de densitat de probabilitat La corba lla és la distribució de Cauchy estàndard
Funció de distribució de probabilitat
Paràmetres	$x_{0}\!$ localització (real) $\gamma >0$ escala (real)
Suport	$\displaystyle x\in (-\infty ,+\infty )\!$
fdp	${\frac {1}{\pi \gamma \,\left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right]}}\!$
FD	${\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2}}\!$
Quantil	$x_{0}+\gamma \,\tan[\pi (F-{\tfrac {1}{2}})]$
Mitjana	no definida
Mediana	$x_{0}\!$
Moda	$x_{0}\!$
Variància	no definida
Coeficient de simetria	no definida
Curtosi	no definida
Entropia	$\log(4\pi \gamma )\!$
FC	$\displaystyle \exp(x_{0}\,i\,t-\gamma \,|t|)\!$

$f(x)={\frac {1}{\pi }}\,{\frac {\gamma }{(x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}},\ x\in \mathbb {R} .$

Quan $x_{0}=0$, aleshores es diu que tenim una distribució de Cauchy centrada en l'origen .

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Distribució de Cauchy

La distribució de Cauchy no té esperança

Si es comparen el gràfic de la densitat d'una distribució de Cauchy amb el d'una distribució normal de mitjana $x_{0}$ i variància $\gamma ^{2}$ es veu que són molt semblants però que quan $x\to \infty$ i $x\to -\infty$ la densitat de Cauchy va més lentament a zero; es diu que la distribució de Cauchy té les cues més pesades que la distribució normal. Això fa que la distribució de Cauchy no tingui esperança: en el cas més senzill, que és ${\mathcal {C}}(0,1)$ (el cas general es fa de manera semblant), tenim que$\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{x^{2}+1}}\,dx=+\infty$, d'on resulta que $\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }x\,f(x)\,dx={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {x}{x^{2}+1}}\,dx=\infty -\infty ,$i per tant l'esperança no existeix.

D'aquí es dedueix que una distribució de Cauchy no té moment de cap ordre.

La distribució de Cauchy i la distribució de Student

Una distribució de Cauchy de paràmetres $x_{0}=0$ i $\gamma =1$ és una distribució t de Student amb un grau de llibertat.