Distribució de Cauchy

En Probabilitat i Estadística, la distribució de Cauchy és una distribució de probabilitat de tipus continu. És una distribució de Student amb un grau de llibertat i també és la distribució del quocient de dues variables normals estàndard independents. La seva funció de densitat té una forma de campana molt semblant a la d'una distribució normal, però amb les cues més pesades, i no té esperança ni variància. S'utilitza molt en diversos camps de la física o l'economia com una alternativa a la distribució normal quan hi ha observacions atípiques.

Infotaula distribució de probabilitatCauchy
Funció de densitat de probabilitat
Funció de densitat de probabilitat de la distribució de Cauchy
La corba lla és la distribució de Cauchy estàndard
Funció de distribució de probabilitat
Funció de distribució acumulada de la distribució de Cauchy
TipusDistribució t de Student i distribució de probabilitat simètrica Modifica el valor a Wikidata
EpònimAugustin Louis Cauchy i Hendrik Lorentz Modifica el valor a Wikidata
Paràmetres localització
escala
Suport
fdp
FD
Quantil
Esperança matemàticano definida
Mediana
Moda
Variànciano definida
Coeficient de simetriano definida
Curtosino definida
Entropia
FC
MathworldCauchyDistribution Modifica el valor a Wikidata

En Física també se l'anomena distribució de Cauchy-Lorentz, o distribució lorentziana, o (la funció de densitat) funció lorentziana, en honor al físic holandès Hendrik Lorentz que la va utilitzar en els seus treballs.[1] També és coneguda com a distribució de Breit-Wigner [2]

Definició modifica

La distribució de Cauchy amb paràmetre de posició   i paràmetre d'escala  , que es denota per   o   , està definida per la funció de densitat [3][4]

 

Quan  , es diu que és una distribució de Cauchy simètrica o centrada en l'origen, i quan   i   que és una distribució de Cauchy estàndard. En aquest darrer cas, escriurem la funció de densitat   en lloc de  :

 
Aquesta funció de densitat coincideix amb la densitat d'una distribució   de Student amb un grau de llibertat,  . Si   i   i  , llavors, per la fórmula del canvi de variables,
 
Recíprocament, si  , llavors,  ; però cal notar que aquesta estandarització no s'ha fet amb la mitjana i la desviació típica (que en el cas de la distribució de Cauchy no existeixen, com veurem més endavant) sinó amb els paràmetres de posició i escala.

La funció de distribució és

 

Propietats de la funció de densitat modifica

El màxim de la funció de densitat es troba en el punt  , que és també el valor de la mediana i la moda. Els quartils 1r. i 3r., són   i  . Per tant, el rang interquartil és  .

Comparació amb la distribució normal modifica

 
Figura 1. Funció de densitat d'una distribució de Cauchy   (en negre) i d'una distribució normal estàndard   (en vermell)

Anem a comparar una distribució de Cauchy amb la distribució normal estàndard. Per tal que el valor màxim d'ambdues funcions de densitat coincideixi, considerarem la distribució de Cauchy amb paràmetre d'escala  . Siguin   i  . Designem per   i   les seves funcions de densitat respectivament, vegeu la Figura 1.

Com es veu al gràfic, la distribució normal dóna més probabilitat (més àrea entre la corba i l'eix d'abscisses) a la part propera a 0, mentre que la Cauchy en dóna més als valors grans (positius o negatius). Per exemple,

 

Per als valors grans, notem que les dues funcions de densitat es tallen als punts  ; per a  , tenim que   la qual cosa implica que

 
Per exemple,
 
Es diu que la distribució de Cauchy té les cues més pesades que la distribució normal. Vegeu també la pàgina distribució amb cues pesades.

Representacions de la distribució de Cauchy modifica

Hem comentat que una distribució de Cauchy estàndard coincideix amb una distribució   de Student amb un grau de llibertat. En conseqüència, de la definició d'aquesta última distribució, si   i   són dues variables normals estàndard independents, llavors

 
Però també tenim que
 
Aquesta propietat pot demostrar-se mitjançant la transformació   (vegeu la fórmula de canvi de variables per a vectors aleatoris) i calculant la funció de densitat marginal de  ; vegeu Severini [5] pels detalls.

Un exemple de la distribució de Cauchy modifica

 
Figura 2. Exemple d'una variable aleatòria de Cauchy

Aquest exemple és de Feller.[6] Des del punt   (vegeu la Figura 2) s'emet un raig de llum sobre una línia vertical (línia vermella) amb un angle   (positiu o negatiu) respecte la línia horitzontal  . El raig toca la línia vertical en el punt  . Designem per   la distància entre els punts   i   i per   la distància (positiva o negativa) entre els punts   i  . Si l'angle   s'escull a l'atzar uniformement en   , llavors   té una distribució de Cauchy amb paràmetre d'escala  ,  .

Per provar aquesta afirmació es considera l'aplicació bijectiva   donada per   i s'aplica la fórmula del canvi de variables per a variables aleatòries amb densitat.


Moments de la distribució de Cauchy modifica

La distribució de Cauchy no té esperança modifica

 
Figura 3. Gràfic de la funció   per una distribució de Cauchy estàndard

Anem a argumentar que la distribució de Cauchy no té esperança . N'hi ha prou amb considerar una distribució de Cauchy estàndard. Per calcular l'esperança hem de calcular la integral impròpia [7] , on   és la funció de densitat (2). Si bé la funció   va a zero quan  , ho fa molt lentament i l'àrea entre la part positiva de l'eix d'abscisses i la corba és  , vegeu la figura 3; formalment,

 
Anàlogament, l'àrea entre la part negativa de l'eix d'abscisses i la corba és infinita:
 
Aleshores, al calcular
 
s'obté una indeterminació del tipus  . Cal notar, que la condició formal per tal que existeixi l'esperança és  , i que no es compleix ja que,
 

La distribució de Cauchy no té moments de cap ordre n ≥ 1 modifica

Sigui  . Hem vist a l'apartat anterior que

 
d'aquí es dedueix que per a qualsevol   ,   . En efecte, per a qualsevol número real   i qualsevol nombre natural   tenim que
 
ja que si  , llavors  ; i si  , llavors  . Per tant,
 
Llavors,
 

Funció generatriu de moments modifica

La distribució de Cauchy no té funció generatriu de moments, ja que no té moments de cap ordre.

La distribució de Cauchy té moments absoluts d'ordre menor que 1 modifica

Sigui  . Aleshores per a  ,

 
Aquesta propietat es demostra de la següent manera:
 
Ara es fa el canvi  , amb la qual cosa s'obté una integral del tipus funció beta, i l'expressió de la dreta dóna  . Finalment s'aplica la següent identitat per a la funció beta (que és una conseqüència de la fórmula de reflexió de la funció gamma)
 


Observació. Per a  ,   s'anomena moment absolut d'ordre negatiu  .[8]

Funció característica i aplicacions modifica

Sigui  . Llavors la seva funció característica és

 
Vegeu la pàgina funció característica per al seu càlcul.

Suma de variables de Cauchy independents modifica

De la forma de la funció característica és dedueix que si   independents, i   , llavors

 

La distribució de Cauchy és estable modifica

Recordem que una variable aleatòria no degenerada   és diu que és estable [9] (o que la seva distribució és estable) si per a qualsevol número natural   i   independents amb la mateixa distribució que  , existeixen números   i   tals que

 
on   indica la igualtat en distribució o llei. Si la relació anterior es compleix amb  , llavors diu que la variable aleatòria es estrictament estable.

Recordem també que una variable aleatòria   es diu que és infinitament divisible [10] si per a qualsevol  , existeixen variables aleatòries   independents i idènticament distribuïdes tals que

 
Si una variable aleatòria és estable, llavors és infinitament divisible, ja que si es compleix (*), prenent
 
obtenim (**).

Retornant a la distribució de Cauchy  , a partir de la la propietat (4) deduïm que es compleix la igualtat (*) amb   i  , i per tant, és estrictament estable, i, aleshores, també infinitament divisible.

Les funcions característiques de les distribucions estables sempre tenen la forma [11]

 
amb  ,   ,   , que s'anomena l'índex,   i
 
on
 
Una distribució estable amb aquesta funció característica és designa per   . Comparant l'expressió anterior amb la la funció característica d'una distribució de Cauchy   donada a (3) deduïm que és   ; en particular, l'índex és   .

La distribució de Cauchy i la llei dels grans nombres modifica

Siguin   independents, totes amb distribució de Cauchy  . Posem  

De la propietat (4) es dedueix que  . Per tant,

 
on  . Però això no contradiu la llei dels grans nombres, ja que (a la llei forta) calia suposar que   tenia esperança, la qual cosa amb la distribució de Cauchy no es compleix.

Tornant a l'exemple del raig de llum, tal com comenta Feller,[12] si repetim   vegades l'experiment, el fet que la mitjana   tingui també una distribució de Cauchy   vol dir que les mitjanes no es distribuirien més a prop del punt   com s'esperaria amb la llei dels grans nombres, sinó que es dispersen com les dades sense promitjar.

La distribució de Cauchy truncada modifica

Fixats dos números  , amb   , la distribució de Cauchy truncada a l'interval   (Johnson et al [13] l'anomenen distribució de Cauchy doblement truncada), amb paràmetre de posició   i paràmetre d'escala   , té funció de densitat [14]

 
on   és la constant normalitzadora
 
Més explícitament, després de simplificar, tenim la funció de densitat
 
Cal notar que si  , llavors   és la densitat de la variable condicionada  . Vegeu l'article distribució truncada. Aquesta distribució té l'avantatge que, a l'estar definida en un interval finit, té moments de tots els ordres i funció generatriu de moments. Vegeu [14] per a l'estudi de les seves propietats i diverses aplicacions.

Vegeu també modifica

Referències modifica

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Distribució de Cauchy
  1. «Lorentz 1916». [Consulta: 28 febrer 2024].
  2. Breit, G.; Wigner, E. «Capture of Slow Neutrons». Physical Review, 49, 7, 01-04-1936, pàg. 519–531. DOI: 10.1103/PhysRev.49.519.
  3. Cramer, Harald. Métodos matemáticos de Estadística. Cuarta edición. Aguilar, 1970, p. 283. 
  4. Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel; Balakrishnan, Narayanaswamy. «Chapter 16». A: Continuous univariate distributions. 1. 2. ed., 3. [print.] - 1994. New York: Wiley, 1994. ISBN 978-0-471-58495-7. 
  5. Severini, Thomas A. Elements of distribution theory. New York, NY: Cambridge University Press, 2005, p. 206-207. ISBN 978-0-521-84472-7. 
  6. Feller, William. Introducción a la teoria de probabilidades y sus aplicaciones, volumen II. Segona edició. Mèxico: Limusa, 1978, p. 79. 
  7. Per a les propietats de les integrals impròpies, vegeu Apostol, T. M.. «Cap. 14». A: Análisis matemático. Barcelona: Editorial Reverté, 1960. 
  8. David, H. A. «Moments of Negative Order and Ratio-Statistics». Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Methodological), 17, 1, 1955, pàg. 122–123. ISSN: 0035-9246.
  9. Feller, William. Introducción a la teoria de probabilidades y sus aplicaciones, volumen II. Segona edició. Mèxico: Limusa, 1978, p. 206. 
  10. Feller, William. Introducción a la teoria de probabilidades y sus aplicaciones, volumen II. Segona edició. Mèxico: Limusa, 1978, p. 213. 
  11. Hoffmann-Jørgensen, Jørgen. Probability with a view toward statistics. 1. Boca Raton: CRC Press, 2003, p. 386. ISBN 978-0-412-05221-7. 
  12. Feller, William. Introducción a la teoria de probabilidades y sus aplicaciones, volumen II. Segona edició. Mèxico: Limusa, 1978, p. 80. 
  13. Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel; Balakrishnan, Narayanaswamy. Continuous univariate distributions. 1. 2. ed., 3. [print.] - 1994. New York: Wiley, 1994, p. 322. ISBN 978-0-471-58495-7. 
  14. 14,0 14,1 Nadarajah, Saralees «Making the Cauchy work». Brazilian Journal of Probability and Statistics, 25, 1, 2011, pàg. 99–120. ISSN: 0103-0752.