Distribució t de Student
En probabilitat i estadística, la distribució t de Student és una distribució de probabilitat que sorgeix del problema d'estimar la mitjana d'una població normalment distribuïda amb variància desconeguda quan la mida de la mostra és petita. Aquesta és la base de la popular prova t de Student per a la determinació de les diferències entre dues mitjanes mostrals i per a la construcció de l'interval de confiança per a la diferència entre les mitjanes de dues poblacions.
![]() | |
Funció de distribució de probabilitat ![]() | |
Paràmetres | graus de llibertat |
---|---|
Suport | |
FD | on ₂F1 és la funció hipergeomètrica |
Mitjana | 0 per a |
Mediana | 0 |
Moda | 0 |
Variància | per a |
Coeficient de simetria | 0 per a |
Curtosi | per a |
Entropia | on ψ és la funció digamma i B és la funció beta |
FC | on és Funció de Bessel modificada de segon tipus |
El seu nom, Student, es deu al pseudònim que utilitzava l'estadístic britànic William Sealey Gosset quan publicava els seus articles científics. Per a la història d'aquesta distribució vegeu la pàgina Prova t de student. La referència bàsica d'aquest article és Johnson et al. [1].
DefinicióModifica
Sigui una variable aleatòria normal estàndard i una variable aleatòria amb distribució amb graus de llibertat, i independents. La variable
Comentari sobre els graus de llibertat. El cas més habitual d'una distribució és quan el nombre de graus de llibertat és un nombre natural i llavors es pot interpretar com la suma dels quadrats de variables aleatòries normals estàndard independents. Però mitjançant la funció de densitat es pot definir una distribució que tingui com a graus de llibertat qualsevol nombre real estrictament positiu , nombre que continua anomenat-se els graus de llibertat de la distribució.[2] En conseqüència, pot definir-se la distribució de Student amb graus de llibertat qualsevol nombre . Cal dir que el programari estadístic estàndard, per exemple, el llenguatge R, utilitza graus de llibertat fraccionaris en certs tests estadístics.
Funció de densitatModifica
La funció de densitat de la distribució de Student amb graus de llibertat és
|
on és la funció gamma.
Utilitzant la funció Beta i que també es pot escriure
El determinant jacobià d'aquesta transformació és
Quan és un nombre natural, la funció de densitat és simplifica. Concretament,per a ,
Per a parell,
Funció de distribucióModifica
Quan el nombre de graus de llibertat és un nombre natural, la funció de distribució es pot donar explícitament en termes de funcions elementals, amb una expressió que es complica a l'augmentar els graus de llibertat.
Funció de densitat | Funció de distribució | |
---|---|---|
1 | ||
2 | ||
3 | ||
4 | ||
5 |
Tenim que
i per a , la integral és una integral d'una funció racional amb arrels complexes múltiples, que dóna[3]
Calculem, per exemple, la funció de distribució per a : hem de calcular
Expressions alternatives de la funció de distribucióModifica
Per al cas general podem escriure la funció de densitat en termes de la funció beta incompleta [4]:
Per a , atès que la funció de densitat és parella, el càlcul de és fa per arguments de simetria.
on és la funció Beta i és la funció Beta incompleta regularitzada . D'on es dedueix la fórmula per a .
També, per a , es pot escriure la funció de distribució en termes d'una funció hipergeomètrica [5]
MomentsModifica
Sigui un nombre natural. Aleshores
- Si , tenim que
- Si , llavors , i en conseqüència el moment d'ordre no existeix.
En el cas parell, , també tenim [5]
En particular, si , llavors . Si , llavors
Ara, per calcular els moments quan , és a dir, si , repetim els càlculs anteriors sense el valor absolut tenint en compte que per a una variable normal estàndard tenim
Aproximació normalModifica
En aquesta secció considerem els graus de llibertat un nombre natural. Sigui , aleshores per a gran, és aproximadament normal estàndard .
Alternativament [6], si designem per la funció de densitat de la distribució ,
Funció característicaModifica
Quan el nombre de graus de llibertat és una nombre natural, hi ha formules per la funció característica de la distribució de Student, que depenen de si els graus de llibertat son senars o parells, fórmules que cada cop són més complicades a l'augmentar el nombre de graus de llibertat [7]. Una fórmula general utilitzant funcions especials va ser obtinguda el 1995 independentment per S. Hurst [8] i A. H. Jorder (veieu).[9] Concretament, si ,
La distribució t de Student en EstadísticaModifica
El paper central que té distribució de Student en la inferència estadística de poblacions normals és degut al següent teorema:[10]
|
Vegeu la pàgina de la distribució per a la demostració dels punts 1 i 2. El punt 3 es dedueix del fet que i de les parts 1 i 2 i de la definició de la distribució de Student.
Vegeu la pàgina Interval de confiança per a exemples concrets d'utilització de la distribució de Student.
Relació amb altres distribucionsModifica
- La distribució coincideix amb la distribució de Cauchy.
- Si , aleshores té una distribució amb 1 i graus de llibertat: .
Vegeu tambéModifica
NotesModifica
- ↑ Johnson, Kotz i Balakrisnan, 1995, Chapter 28.
- ↑ Johnson, N. L.; Kotz, S.; Balakrishnan, N. Continuous Univariate Distributions, Volume 1. 2nd ed. New York: Wiley, 1994, p. 417. ISBN 0-471-58495-9.
- ↑ 3,0 3,1 Gradshteĭn, I. S.. Table of integrals, series and products. 7th ed. Oxford: Academic, 2007, p. 96, fórmula 2.263.3. ISBN 978-0-12-373637-6.
- ↑ Johnson, Kotz i Balakrisnan, 1995, p. 364.
- ↑ 5,0 5,1 Johnson, Kotz i Balakrisnan, 1995, p. 365.
- ↑ Johnson, Kotz i Balakrisnan, 1995, p. 363.
- ↑ Johnson, Kotz i Balakrisnan, 1995, p. 367-368.
- ↑ Hurst, Simon. [url=https://web.archive.org/web/20100218072259/http://wwwmaths.anu.edu.au/research.reports/srr/95/044/ The Characteristic Function of the Student-t Distribution], Financial Mathematics Research Report No. FMRR006-95, Statistics Research Report No. SRR044-95
- ↑ Gaunt, Robert E. «A simple proof of the characteristic function of Student’s t -distribution» (en anglès). Communications in Statistics - Theory and Methods, 50, 14, 18-07-2021, pàg. 3380–3383. DOI: 10.1080/03610926.2019.1702695. ISSN: 0361-0926.
- ↑ DeGroot, Morris H. Probabilidad y estadística. 2a. ed. Wilmington, Delawere, E.U.A.: Addison-Wesley Iberoamericaca, 1988, p. 373-374 i 379-380. ISBN 0-201-64405-3.
BibliografiaModifica
- Johnson, N. L.; Kotz, S.; Balakrishnan, N. Continuous Univariate Distributions, Volume 2. 2nd ed. New York: Wiley, 1995. ISBN 0-471-58494-0.
A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Distribució t de Student |