Distribució t de Student

En probabilitat i estadística, la distribució t de Student és una distribució de probabilitat que sorgeix del problema d'estimar la mitjana d'una població normalment distribuïda quan la mida de la mostra és petita. Aquesta és la base de la popular prova t de Student per a la determinació de les diferències entre dues mitjanes mostrals i per a la construcció de l'interval de confiança per a la diferència entre les mitjanes de dues poblacions.

Distribució t de Student

Funció de distribució de probabilitat
Paràmetres	$\nu >0$ graus de llibertat (real)
Suport	$x\in (-\infty ,\infty )$
FD	${\begin{matrix}{\frac {1}{2}}+x\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)\times \\[0.5em]{\frac {\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {\nu +1}{2}};{\frac {3}{2}};-{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\end{matrix}}$ on 2F1 és la funció hipergeomètrica
Mitjana	0 per a $\nu >1$, sinó és indefinida
Mediana	0
Moda	0
Variància	$\textstyle {\frac {\nu }{\nu -2}}$ per a $\nu >2$, ∞ per a $1<\nu \leq 2$, sinó és indefinida
Coeficient de simetria	0 per a $\nu >3$, sinó és indefinida
Curtosi	$\textstyle {\frac {6}{\nu -4}}$ per a $\nu >4$, ∞ per a $2<\nu \leq 4$, sinó és indefinida
Entropia	${\begin{matrix}{\frac {\nu +1}{2}}\left[\psi \left({\frac {1+\nu }{2}}\right)-\psi \left({\frac {\nu }{2}}\right)\right]\\[0.5em]+\ln {\left[{\sqrt {\nu }}B\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {1}{2}}\right)\right]}\,{\scriptstyle {\text{(nats)}}}\end{matrix}}$ ψ: funció digamma, B: funció beta
FGM	indefinida
FC	$\textstyle {\frac {K_{\nu /2}\left({\sqrt {\nu }}|t|\right)\cdot \left({\sqrt {\nu }}|t|\right)^{\nu /2}}{\Gamma (\nu /2)2^{\nu /2-1}}}$ for $\nu >0$ $K_{\nu }(x)$: Funció de Bessel modificada de segon tipus

La distribució t sorgeix, en la majoria dels estudis estadístics pràctics, quan la desviació típica d'una població es desconeix i ha de ser estimada a partir de les dades d'una mostra.

El seu nom, Student, es deu al pseudònim que utilitzava l'estadístic britànic William Sealey Gosset quan publicava els seus articles científics.

Aparició i especificacions de la distribució t de Student

Suposem que X₁, ..., X_n són variables aleatòries independents distribuïdes normalment, amb mitjana μ i variància σ². Sigui:

${\overline {X}}_{n}=(X_{1}+\cdots +X_{n})/n$

la mitjana mostral i

${S_{n}}^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\overline {X}}_{n}\right)^{2}$

la variància mostral corregida. Llavors, queda demostrat que

$Z={\frac {{\overline {X}}_{n}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}$

es distribueix segons una normal de mitjana 0 i variància 1.

Gosset va estudiar una expressió relacionada,

$T={\frac {{\overline {X}}_{n}-\mu }{S_{n}/{\sqrt {n}}}}$

i va mostrar que T té la següent funció de densitat:

$f(t)={\frac {\Gamma ((\nu +1)/2)}{{\sqrt {\nu \pi \,}}\,\Gamma (\nu /2)}}(1+t^{2}/\nu )^{-(\nu +1)/2}$

Amb $\nu$ igual a n − 1.

La distribució de T s'anomena ara distribució t de Student.

El paràmetre $\nu$ designa convencionalment el nombre de graus de llibertat. La distribució depèn de $\nu$ , però no de $\mu$ o $\sigma$; la independència de $\mu$ i $\sigma$ és el que fa a la distribució t de Student tan important en la teoria i en la pràctica. $\Gamma$ és la funció Gamma.

Referències

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Distribució t de Student