Element neutre
L'element neutre, d'una operació, en un conjunt C, és un element que operat amb qualsevol altre element a de C, no l'altera, és a dir:[1]
L'element neutre de la suma en el conjunt dels nombres reals és el 0. En el mateix conjunt, quan l'operació és la multiplicació, l'element neutre és l'1.[2][3][4]
Definicions
modificaOperació interna
modificaDonat un conjunt C amb una operació interna , diem que un element és:
- Un element neutre per l'esquerra si ;
- Un element neutre per la dreta si ;
- Un element neutre bilateral, o simplement un element neutre, .
Si existeix un element neutre per l'esquerra (per la dreta) direm que l'operació és unitària per l'esquerra (per la dreta), i si l'element neutre és bilateral direm simplement que és unitària.
Propietats:
- En un conjunt poden haver-hi més d'un element neutre per l'esquerra, a condició que no hi hagi cap element neutre per la dreta, i a l'inrevés. Si hi ha elements neutres per l'esquerra i per la dreta aleshores tots els neutres són iguals entre si, i l'element neutre és únic i bilateral.
- Tot element neutre (per l'esquerra, per la dreta, o bilateral) és idempotent.
- Els elements neutres bilaterals són centrals (commuten amb tots els elements del conjunt).
Operació externa
modificaDonats dos conjunts C i S, i una operació binària externa per l'esquerra , direm que és un element neutre per l'esquerra si . Si existeix tal element direm que l'operació és exounitària per l'esquerra, o simplement unitària. Intercanviant la posició dels operands podem definir l'element neutre per la dreta en una operació externa per la dreta.
Exemples
modificaConjunt | Operació | Element neutre |
---|---|---|
nombres reals | suma | 0 |
nombres reals | multiplicació | 1 |
funcions d'un conjunt a si mateix | composició de funcions | funció identitat |
matrius mxn | suma de matrius | matriu de zeros |
matrius nxn | producte de matrius | matriu identitat |
vectors | suma de vectors | vector nul |
cadenes de caràcters | concatenació de cadenes | cadena buida |
Referències
modifica- ↑ Identity Element. MathWorld (anglès)
- ↑ «Elemento neutro de la suma: El elemento neutro de la suma para los números reales es 0.». [Consulta: 27 gener 2022].
- ↑ «Elemento neutro de la multiplicación: El elemento neutro de la multiplicación para los números reales es 1, porque los números complejos son 1+0i.». [Consulta: 27 gener 2022].
- ↑ «Identity Element | Encyclopedia.com». [Consulta: 27 gener 2022].