Equació d'Euler

Es denomina equació d'Euler a l'equació fonamental que descriu el comportament d'una turbomàquina sota l'aproximació d'un flux unidimensional.

En potències

La potència per unitat de massa de fluid que es transmet en una turbomàquina segueix la següent equació:

${\dot {W}}={\dot {m}}(c_{1u}u_{1}-c_{2u}u_{2})$

on:

.${\dot {W}}$és la potència transmesa per la màquina

Si .${\dot {W}}>0$ la potència és absorbida per la màquina (turbina)

Si la potència és cedida per la màquina (bomba).${\dot {W}}<0$

és el cabal màssic que travessa la màquina.${\dot {m}}$

és la velocitat absoluta tangencial del fluid.$c_{iu}$ El subíndex o indica que es considera solament la velocitat tangencial. Els subíndexs 1 i 2 indiquen entrada i sortida respectivament.

és la velocitat relativa del fluid.$u_{i}$

En altures hidràuliques

L'altura hidràulica de fluid que es transmet en una turbomàquina segueix la següent equació:

$H_{u\infty }={\frac {(c_{1u}u_{1}-c_{2u}u_{2})}{g}}$

on:

és l'altura hidràulica transmesa per la màquina.$H_{u\infty }$

Si l'altura és absorbida per la màquina (turbina).$H_{u\infty }>0$

Si l'altura és cedida per la màquina (bomba).$H_{u\infty }<0$

és la velocitat absoluta tangencial del fluid.$c_{iu}$ El subíndex o indica que es considera solament la velocitat tangencial. Els subíndexs 1 i 2 indiquen entrada i sortida respectivament.

és la velocitat relativa del fluid.$u_{i}$

és l'acceleració de la gravetat.$g$

Definició

Partint de la Llei de Newton per a un sistema obert podem enunciar la conservació de moment cinètic per a un volum fluid:

$E={\frac {d({\dot {m}}c)}{dt}}$

on E són les forces en aquest volum, m la massa del mateix i c la seva velocitat.

Si integrem per al volum tancat en la turbomàquina, podem obtenir la resultant per tota ella:

$\iiint _{1}^{2}E=\iiint _{1}^{2}{\frac {d{\dot {m}}c}{dt}}F={\dot {m}}\cdot (c_{1}-c_{2})$

Però atès que en una turbomàquina la transferència d'energia es produeix a través del moment angular solament ens interessa la component tangencial de c, .$c_{u}$ Aquesta component produeix un parell:

$\Gamma ={\dot {m}}(r_{1}c_{1u}-r_{2}c_{2u})$

on R és la distància pel que fa a l'eix

Finalment, veiem que la potència transferida és el parell per la velocitat angular:${\dot {W}}$

${\dot {W}}=\Gamma \omega ={\dot {m}}\omega (r_{1}c_{1u}-r_{2}c_{2u})={\dot {m}}(c_{1u}u_{1}-c_{2u}u_{2})$

Forma alternativa de l'equació d'Euler

Triangle de velocitats.

Si es parteix dels triangles de velocitats es veu per trigonometria que:

$w^{2}=c^{2}+u^{2}-2uc_{u}$

amb el que:

$u_{1}c_{u1}={\frac {1}{2}}(c_{1}^{2}+u_{1}^{2}-w_{1}^{2})$

$u_{2}c_{u2}={\frac {1}{2}}(c_{2}^{2}+u_{2}^{2}-w_{2}^{2})$

I es dedueix que l'equació d'Euler es pot escriure també com:

${\dot {W}}={\frac {\dot {m}}{2}}((c_{1}^{2}-c_{2}^{2})+(u_{1}^{2}-u_{2}^{2})-(w_{1}^{2}-w_{2}^{2}))$

En aquesta formulació s'hi poden veure per separat les diferents contribucions a la potència transferida, obtenint-se recomanacions per al disseny de turbo-maquinària:

• Per comunicar o extreure energia per unitat de massa del fluid interessa que $u_{1}$i $u_{2}$ siguin diferents, com passa amb les turbomàquines centrífugues, que aconsegueixen unes majors potències específiques. No obstant això, facilitats constructives pot interessar una màquina axial que transporti majors cabals sense aquest efecte addicional.
• Igualment interessa sempre accelerar la velocitat absoluta del fluid (compressor) o desaccelerar-la (turbina) mentre que interessa desaccelerar la velocitat relativa (compressor) o accelerar-la (turbina).

Referències

• "Turbomàquinas tèrmiques" M. Muñoz, F. J. Collado, F. Moreno, J.F. Morea. Premses Universitàries de Zaragoza ISBN 84-7733-528-1