Equació de Kepler

Kepler va descobrir les lleis que regeixen el moviment dels planetes al voltant del Sol. Els planetes giren en una òrbita el·líptica, un dels focus F l'ocupa el Sol, però no ho fan amb un moviment uniforme, sinó segons la llei de les àrees escombrant el radi vector Sol-Planeta àrees iguals en temps iguals. El plasmat matemàtic d'aquesta llei és l'Equació de Kepler:

M=E-e\,\mathrm {sin} \,E

on:

M és l'anomalia mitjana o angle que recorreria un planeta fictici que es mogués amb moviment uniforme por la circumferència principal,
$e\ (0\leq e<1)$ és l'excentricitat de l'el·lipse i
E és l'anomalia excèntrica.

Va ser derivada per primera vegada per Johannes Kepler el 1609 en el capítol 60 de la seva Astronomia nova,^[1]^[2] i en el llibre V del seu Epitome Astronomiae Copernicanae (1621) Kepler va proposar una solució iterativa a l'equació.^[3]^[4] L'equació ha tingut un paper important en la història de la física i les matemàtiques, en particular en la mecànica celeste clàssica.

Moviment mitjà

Suposem que el planeta dona una volta al Sol en un temps anomenat període T.

El moviment mitjà n és l'angle girat en la unitat de temps suposant moviment uniforme n = 360/T en graus/dia si el període s'expressa en dies. Usant la 3 ^a llei de Kepler

{\frac {GMT^{2}}{a^{3}}}=4\pi ^{2}

és:

N={\frac {2\pi }{T}}={\sqrt {\frac {GM}{a^{3}}}}

en radiants/dia sent a l'semieix major de l'òrbita.

S'obté n en radiants/dia o en º/dia si a s'expressa en ua mitjançant:

N={\frac {k}{a^{\frac {3}{2}}}}

on $k$ és la constant de Gauss, o el moviment mitjà diari de la Terra el valor és 0,01720209895 radians/dia o 0,9856076686 graus/dia.

Si t ₀ és l'instant de pas pel periheli P, l'anomalia mitjana en un instant t és:

M=n\times (t-t_{0})

Demostració de l'Equació de Kepler

El semieix major de l'òrbita és $a$ , i el semieix menor és $b$ . L'excentricitat de l'òrbita és $e$ , i l'estrella ocupa un dels focus $F$ , a una distància $c=ae$ del centre $C$ de l'el·lipse. El planeta està en el periheli En $P$ en moment $t=0$ o més en general en el moment $t_{0}$ . Pretenem trobar el temps $T=t-t_{0}$ que tarda el planeta en arribar $S$ .

La circumferència principal té una relació d'afinitat entre els seus ordenades i les ordenades de l'el·lipse, ja que són més grans en un factor $a/b$ . Per a qualsevol punt donat $S$ de l'el·lipse pot traçar al punt corresponent punt $R$ en la circumferència principal. L'angle $PCR$ és l'anomalia excèntrica (l'angle $E$ ) mentre que l'angle $PFS$ és l'anomalia veritable.

Sabem que per la segona llei de Kepler les àrees escombrades pel radi vector del planeta en temps iguals són iguals. L'àrea $PFR$ és l'homòloga de l'àrea $PFS$ escombrada pel planeta:

PFR={\frac {a}{b}}PFS

Sabem que, en el temps del període orbital $\tau$ , el planeta escombra l'àrea sencera de l'el·lipse $\pi ab$ . Per això en un temps $T/\tau$ l'àrea escombrada serà:

PFS={\frac {T}{\tau }}\pi ab

i substituint aquesta expressió en l'anterior:

PFR={\frac {T}{\tau }}\pi a^{2}

Però l'àrea $PFR$ és la resta de les àrees $PCR$ e $FCR$ :

PFR=PCR-FCR\;

L'àrea $PCR$ és el sector circular l'angle central és E. Com el cercle té una àrea total $\pi a^{2}$ i la fracció és $E/2\pi$ , tenim:

PCR={\frac {a^{2}}{2}}E

Mentre que l'àrea $FCR$ és un triangle la base és la semi-distància focal $FC$ de longitud $c=ae$ , i l'alçada és $a\,\mathrm {sin} \,E$ :

FCR={\frac {a^{2}}{2}}e\,\mathrm {sin} \,E

Per la qual cosa:

PFR={\frac {T}{\tau }}\pi a^{2}={\frac {a^{2}}{2}}E-{\frac {a^{2}}{2}}e\,\mathrm {sin} \,E

Dividint per $a^{2}/2$ :

{\frac {2\pi }{\tau }}T=E-e\,\mathrm {sin} \,E

Però $n=2\pi /\ {\tau }$ és el moviment mitjà i si multipliquem per T obtenim l'anomalia mitjana $M=n\,T=n\,(t-t_{0})$ el que ens dona l'equació de Kepler:

M=E-e\,\mathrm {sin} \,E\;

Nota: Per entendre la importància d'aquesta fórmula, consideri que és una fórmula anàloga que dona l'angle $\theta$ girat en un moviment circular i uniforme (velocitat angular constant) $n$ :

N\,T=\theta \;

Mètodes de resolució de l'Equació de Kepler

Per a un temps t donat, M és conegut, amb la qual queda una equació transcendent en E la resolució anem a abordar.

Mètode gràfic

Exemple:

Mètode gràfic aproximat de resoldre l'equació de Kepler.

Suposem el planeta Mart el any sideri = 686,98 dies i volem calcular l'anomalia excèntrica 80 dies després que el planeta passi pel periheli

El moviment mitjà a = 0,524033 º/dia i l'anomalia mitjana: $M=n\times (t-t_{0})$ = 41 º, 9226

Per resoldre l'equació de Kepler, en el gràfic de dibuixa una sinusoide. Sobre l'eix x es mesura M = OP i es dibuixa una recta amb inclinació sobre l'eix x tal que:

$cotg(\alpha )=i$ .

Llavors $PQ=e\times \sin E$ amb el que $OQ=OP+PQ=M+e\times \sin E$

Aplicada per Mart T = 686,98 dies, i = 0,09341 i 80 dies després del pas pel periheli. L'anomalia mitjana val M = 41,9226 i la a. excèntrica surt E = 49,8 quan hauria de sortir 45,75.

Mètode de les aproximacions successives

S'escriu l'equació de Kepler en la forma:

E=M+e\times \sin E

Com normalment la excentricitat i és petita pot menysprear i l'aproximació inicial E ₀ = M. Ara s'aplica l'equació de Kepler per obtenir un nou valor:

E_{1}=M+e\times \sin E_{0}

i en general

E_{i}=M+e\times \sin E_{i-1}

es iter el càlcul les vegades necessàries fins que la diferència entre E _i-1 i E _i és menor que una quantitat prefixada o error.

Un script de Java^{[cal citació]} que fa això és:

with (Math){

n = 2 * PI/P;

M = n * T;

E0 = M;

E1 = M+ex * sin (E0);

while (abs (E1-E0)> 0.0001){

E0 = E1;

E1 = M+ex * sin (E0);

}

S'ha usat l'estructura de while (condició) i així mentre es compleixi la condició seguirà iterada.

Nota important:

L'equació es pot resoldre en radiants o graus en aquest darrer cas cal fer homogenis els dos sumands convertint radians a graus:

E_{i}=M+{\frac {180}{\pi }}\times e\times \sin E_{i-1}

En l'applet es resol en radiants.

Exemple:

Suposem que volem calcular l'anomalia excèntrica del planeta Mart, 80 dies després que el planeta passi pel periheli i amb un error menor que 0,00001. La següent taula resumeix els resultats de les diferents iteracions:

Iteració	Ei	Diferència
0	41,92260
1	45,49841	3,57581
2	45,73981	0,24140
3	45,75558	0,01577
4	45,75661	0,00103
5	45,75668	0,00007
6	45,75668	0,000004

Amb només 6 iteracions es pot veure que E = 45,75668 amb totes les seves xifres exactes.

Nota: Quan l'excentricitat s'acosta a 1 es necessiten moltes més iteracions per aconseguir el mateix error.

Mètode de Newton

El mètode de Newton consisteix a calcular una arrel d'una equació f (x) = 0 mitjançant l'expressió:

X_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}.

Per a això n'hi ha prou amb escriure l'equació de Kepler com

E-e\times \sin E-M=0

i aplicar aquest mètode.

Moviment el·líptic

Veure article principal de Moviment el·líptic

Quan ja s'han calculat l'anomalia mitjana M, i mitjançant la resolució de l' Equació de Kepler l'anomalia excèntrica E i després l'anomalia veritable V, encara queden moltes relacions de tractar. A tall d'exemple:

Posició cartesiana (x, y) del planeta respecte a l'estrella:
- En funció anomalia excèntrica:

X=a\times (\cos E-e)

I=a\times {\sqrt {1-i^{2}}}\times \sin E

- En funció anomalia veritable:

X=r\times \cos V

I=r\times \sin V

Ràdio vector
- En funció anomalia excèntrica

R=a\times (1-e\times \cos E)

- En funció anomalia veritable:

R={\frac {a\times (1-e^{2})}{1+e\times \cos V}}

Desenvolupaments en sèrie de potències de i d'E, V ir:

E=M+e\times \sin M+{\frac {i^{2}}{2}}\times \sin(2\times M)+...

V=M+2\times e\times \sin M+{\frac {5i^{2}}{4}}\times \sin(2\times M)+...

R=a\times (1-e\times \cos M+{\frac {i^{2}}{2}}\times (1-\cos(2\times M)))+...

on s'han desenvolupat fins a 2n ordre.

Nota final

Mentre que la llei de les àrees és general no només per a cossos atrets per la Llei de Newton o llei de la inversa del quadrat de la distància, sinó per a totes les forces centrals, la direcció està en la línia que uneix les partícules. L'Equació de Kepler és vàlida només per a cossos que es mouen en una òrbita tancada el·líptica amb 0 ≤ i <1 .

Per òrbites obertes amb i> 1 (Hipèrbola) la mateixa llei de les àrees porta a una formulació lleugerament diferent. (Resolució del moviment hiperbòlic)

Referències

↑ Kepler, Johannes. «LX. Methodus, ex hac Physica, hoc est genuina & verissima hypothesi, extruendi utramque partem æquationis, & distantias genuinas: quorum utrumque simul per vicariam fieri hactenus non potuit. argumentum falsæ hypotheseos». A: Astronomia Nova Aitiologētos, Seu Physica Coelestis, tradita commentariis De Motibus Stellæ Martis, Ex observationibus G. V. Tychonis Brahe (en llatí), 1609, p. 299–300.
↑ Aaboe, Asger. Episodes from the Early History of Astronomy. Springer, 2001, p. 146–147. ISBN 9780387951362.
↑ Kepler, Johannes. «Libri V. Pars altera.». A: Epitome astronomiæ Copernicanæ usitatâ formâ Quæstionum & Responsionum conscripta, inq; VII. Libros digesta, quorum tres hi priores sunt de Doctrina Sphæricâ (en llatí), 1621, p. 695–696.
↑ Swerdlow, N. M. «Kepler's Iterative Solution to Kepler's Equation». Journal for the History of Astronomy, 31, 2000, pàg. 339–341. Bibcode: 2000JHA....31..339S.

Vegeu també

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Equació de Kepler

[1] Kepler, Johannes. «LX. Methodus, ex hac Physica, hoc est genuina & verissima hypothesi, extruendi utramque partem æquationis, & distantias genuinas: quorum utrumque simul per vicariam fieri hactenus non potuit. argumentum falsæ hypotheseos». A: Astronomia Nova Aitiologētos, Seu Physica Coelestis, tradita commentariis De Motibus Stellæ Martis, Ex observationibus G. V. Tychonis Brahe (en llatí), 1609, p. 299–300.

[2] Aaboe, Asger. Episodes from the Early History of Astronomy. Springer, 2001, p. 146–147. ISBN 9780387951362.

[3] Kepler, Johannes. «Libri V. Pars altera.». A: Epitome astronomiæ Copernicanæ usitatâ formâ Quæstionum & Responsionum conscripta, inq; VII. Libros digesta, quorum tres hi priores sunt de Doctrina Sphæricâ (en llatí), 1621, p. 695–696.

[4] Swerdlow, N. M. «Kepler's Iterative Solution to Kepler's Equation». Journal for the History of Astronomy, 31, 2000, pàg. 339–341. Bibcode: 2000JHA....31..339S.

[1]

[2]

[3]

[4]