Obre el menú principal

En matemàtiques, un espai afí és una estructura que generalitza el concepte d'espai euclidià. Històricament, la noció d'espai afí neix del problema creat per l'aparició de noves geometries, perfectament coherents, però diferents de la d'Euclides, i del seu axioma del paral·lelisme. Per aconseguir la seva l'harmonització, va caldre redefinir el concepte d'espai euclidià, excloent-hi el concepte de distància, i tot el que això representa, com longitud i angle. El resultat de tot això, va ser una geometria afí, on l'espai apareix com una estructura algebraica, molt propera a espai vectorial, del que n'ha estat alliberat posteriorment, donant lloc a l'àlgebra lineal.

HistòriaModifica

La demostració del cinquè postulat d'Euclides va originar la creació de les anomenades geometries no-euclidianes. Durant aquesta revolució Euler va desenvolupar una nova geometria basada únicament en certs teoremes basats en els postulats I,II,V d'Euclides, d'aquesta formulació va esdevenir la geometria Afí.

Estudiada primerament per Euler i, de gran importància actual, ja que és utilitzada en la Geometria de Minkowski de l'espai-temps, amb la geometria Afí ens aproximem al que passa en l'espai físic, on aparentment, no hi ha punts millors que altres. En aquesta geometria estudiarem objectes com rectes i plans y propietats com el paral·lelisme que respon a conceptes estudiats fa temps en geometria.

DefinicionsModifica

1a definició d'espai afíModifica

Un espai afí sobre un cos   és el triplet   on:

  •   és un conjunt no buit:  .
  •   és una aplicació  , que anomenarem estructural, i que compleix:

1.

 

2.

 ,  .

Notarem

 

i escriurem que   i   són l'origen i l'extrem del vector  . Amb aquesta notació, la segona propietat de l'aplicació estructural   es pot escriure com:

 

Els elements del conjunt   es diuen punts.   es diu espai vectorial associat a   i definim la dimensió de   com la dimensió de  

2ª definició d'espai afíModifica

Un resultat que ens proporciona una caracterització equivalent d'un espai afí però més còmode en segons quines circumstàncies, és que tot espai afí es pot definir com a conjunt de translacions.


Sigui   un espai Afí. Donat  , anomenarem translació de vector   a l'aplicació:


 

És a dir,   és un punt   tal que  


PROPIETATS:

1)  

2) Si existeix   tal que  , aleshores  

3)Donat  . Existeix un, i només un   tal que  

Exemples d'espais afinsModifica

  • Els sistemes d'equacions tenen estructura afí, on les solucions dels sistemes homogenis són elements de l'espai vectorial associat i les solucions particulars del sistema general són punts.
  • L'espai afí definit pel triplet   on definim   per  .

És l'espai afí de dimensió 2, o sigui, el pla afí.

  • De forma més general, si   és un cos qualsevol, l'espai afí canònic sobre   de dimensió n és el triplet:
 

on   és vist a la vegada com un espai de punts i un  -espai vectorial, i l'aplicació   està definida per:

 

Varietats linealsModifica

Sigui   un espai afí. Sigui   un punt qualsevol, i   un subespai vectorial de  . Es diu varietat lineal que passa per   i té la direcció de  , el subconjunt de  

 

Aquesta varietat lineal es pot designar per:  .

PROPIETATS:


1. Si   
2. Si  

Intersecció i suma de varietats linealsModifica

InterseccióModifica

La intersecció de dues varietats lineals, si no és buida, és una varietat lineal. Aquesta afirmació és una conseqüència de les següents proposicions:

  1. Dues varietats   i   es tallen si i només si

 

 
 
  1. Si dues varietats   i   tenen un punt   en comú, aleshores

 

Suma de varietats linealsModifica

La unió de dues varietat lineals no és, en general, una varietat lineal. En el seu lloc, pot considerar-se la varietat mínima que conte un conjunt de varietats lineals donandes i que es defineix com, considerant   i  :

 

on   és l'espai vectorial generat pel vector  . Aquesta varietat mínima o generada per   i   s'anomena també varietat suma de   i  . En aquest cas notarem  .

Fórmula de Grassman per varietats linealsModifica

Les proposicions d'aquesta secció amb la definició de varietat suma o mínima ens permeten relacionar les dimensions resultants de les interseccions i sumes de varietats lineals de forma anàloga a les fórmules de Grassmann vectorials. Siguin   i   dues varietats lineals.

  1. Si  :

 

  1. Si  :

 

Noció de paral·lelismeModifica

En un espai afí  , dues varietats lineals   són paral·leles si  o  .

Cinquè axioma d'Euclides : En un espai afí, donat un punt   i una direcció qualsevol  , existeix una única varietat que passa pel punt  , i té a   com a direcció.


Referències i notesModifica