Espai de Banach

espai vectorial complet

En matemàtiques, un espai de Banach és un espai vectorial normat i complet. Pren el seu nom en el matemàtic Stefan Banach.

DefinicióModifica

En un espai vectorial   sobre el cos dels nombres reals o dels nombres complexos. Una norma a   és una aplicació ||·||:   amb les següents propietats per a tot escalar   i qualsevols vectors   de l'espai  :

  • Definida positiva:   si i només si   és el vector nul d' .
  • Homogeneïtat:  .
  • Desigualtat triangular:  .

Quan en un espai vectorial tenim definida una norma, parlem d'espai vectorial normat.

Sigui   un espai normat, prenem la definició usual de límit amb la mètrica habitual  . Diem que   quan   per a  . Ara només cal afegir la noció de completesa. Direm que aquest espai normat   és complet quan tota successió ( ) d'elements d'  que és successió de Cauchy té un límit en  . Les successions de Cauchy són aquelles en què els termes de la successió són cada vegada més propers conforme es van agafant de manera successiva.

Així doncs, un espai de Banach és un espai vectorial   sobre el cos dels nombres reals o el dels complexos amb una norma ||·|| tal que tota successió de Cauchy (respecte a la mètrica  ) en   és convergent (té un límit).[1]

ExemplesModifica

Els espais euclidians amb la norma  , on  , són espais de Banach. Més generalment, qualsevol espai normat de dimensions finites és un espai de Banach, a causa del seu isomorfisme per a algun espai euclidià.

ReferènciesModifica

BibliografiaModifica

  • Yoshida, K. Functional Analysis. 6a edició. Classics in Mathematics, Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1980.