Obre el menú principal

A matemàtica un espai vectorial es diu que és normat si s'hi pot definir una norma vectorial. Podem assenyalar els següents fets que ajuden a comprendre la importància del concepte d'espai normat:

DefinicióModifica

Un espai vectorial V sobre un cos   en el qual es defineix un valor absolut (generalment   o  ) es diu que és normat si en ell es pot definir una norma, és a dir, una aplicació  , que verifica:

  1. No negativitat. Per a tot   de   la seva norma ha de ser positiva, i serà zero si i només si   és el vector zero:   si   i  .
  2. Homogeneïtat. Per a tot   de   i per a tot k de   se satisfà que   ·   on   és el mòdul o valor absolut.
  3. Desigualtat triangular. Per a tots   e   de   es compleix que  .

Generalment es denotarà a   l'espai vectorial normat i quan la norma sigui clara simplement per  .

ExemplesModifica

De dimensió finitaModifica

  •  
  • L'espai euclidià  .
  • Les matrius quadrades d'ordre n sobre  :  

De dimensió infinitaModifica

Distància induïdaModifica

En tot espai vectorial normat V es pot definir la distància  :

 

amb la qual (V, d) és un espai mètric.

La distància és invariant per translació : si x, y, z són elements de V :

 

Espais vectorials normats de dimensió finitaModifica

Es compleixen els següents resultats (que generalment no són certes per a espais de dimensió infinita):

  • Totes les normes definides en l'espai són equivalents, és a dir, defineixen la mateixa topologia. La convergència o divergència d'una successió no depèn de la norma escollida. El resultat no és cert per a espais de dimensió infinita sent sempre hi ha dues normes que no són equivalents.
  • L'espai és complet, és a dir, és un espai de Banach. Com a conseqüència, tot subespai de dimensió finita d'un espai vectorial normat (no necessàriament de dimensió finita) és tancat.
  • Teorema de Heine-Borel o teorema de Borel-Lebesgue. Un subconjunt de l'espai vectorial és compacte si i només si és tancat i acotat.
  • Tot funcional lineal és continu (si l'espai vectorial normat té dimensió infinita, hi ha funcionals lineals no continus).
  • Un espai vectorial normat és de dimensió finita si i només si la bola unitat és compacta.