Identitat de Parseval: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m Robot: Reemplaçament automàtic de text (- + ) |
millora introducció |
||
Línia 1:
En [[anàlisi matemàtica]], la '''identitat de Parseval''' és un resultat fonamental
Informalment, la identitat afirma que la suma dels quadrats dels coeficients de Fourier d'una funció és igual a la integral de la funció al quadrat.
Linha 10 ⟶ 9:
:<math>c_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \mathrm{e}^{-inx} \, dx.</math>
Més formalment, el resultat es conserva tal com s'ha establer donat que ''ƒ'' és [[funció quadrada integrable|integrable eelevada al quadrat]] o, més generalment, en [[Espai Lp|''L'' <sup>2</sup>[−π,π;]]]. Un resultat similar és el [[Teorema de Plancherel]], que afirma que la integral del quadrat de la [[transformada de Fourier]] d'una funció és igual a la integral del quadrat de la funció mateixa. En una dimensió, per {{nowrap|''ƒ'' ∈ ''L''<sup>2</sup>('''R''')}},
:<math>\int_{-\infty}^\infty |\hat{f}(\xi)|^2\,d\xi = \int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2\, dx.</math>
La identitat es relaciona amb el teorema de Pitàgores en l'escenari més general d'un [[Espai de Hilbert]] [[topologia|separable]] de la següent manera. Suposeu que ''H'' és un Espai de Hilbert amb el producte interior 〈•,•〉;. Sia ''(e'' <sub>''n'' </sub>) una [[base ortonormal]] de ''H''; és a dir,
:<math>\langle e_m, e_n\rangle = \begin{cases}1&\mbox{si}\ m=n\\
Linha 25 ⟶ 24:
Aixó és directament anàleg al teorema de Pitàgores, que afirma que la suma dels quadrats dels components d'un vector en una base ortonormal és igual a la longitud al quadrat del vector. Es pot recobrar la versió de sèrie de Fourier de la identitat de Parseval deixant que ''H'' sigui l'espai de Hilbert ''L''<sup>2</sup>[−π,π;], i establint ''e''<sub>''n''</sub> = e<sup>−i''nx''</sup> per {{nowrap|''n'' ∈ '''Z'''.}}
De forma més general, la identitat de Parseval es compleix en qualsevol [[espai amb producte interior]], no només en espais de Hilbert separables. Així suposant que ''H'' és un espai amb producte interior. Sia ''B'' una [[base ortonormal]] de ''H''; és a dir, un conjunt ortonormal que és ''total'' en el sentit que l'extenssió lineal de ''B'' és dens en ''H''. Llavors
:<math>\|x\|^2=\langle x,x\rangle=\sum_{v\in B}\left|\langle x,v\rangle\right|^2.</math>
L'exigència que ''B'' és total és necessaria per a la validesa de la identitat. Si ''B'' no és total, llavors la igualtat en la identitat de Parseval s'ha de reemplaçar {{nowrap|per ≥,}} així dóna la [[desigualtat de Bessel]]. Aquesta forma general de la identitat de Parseval es pot demostrar utilitzant el [[teorema de Riesz–Fischer]].
== Vegeu també ==
Linha 40 ⟶ 39:
[[Categoria:Anàlisi funcional]]
[[da:Parsevals identitet]]
[[de:Parsevalsche Gleichung]]
[[en:Parseval's identity]]▼
[[es:Identidad de Parseval]]
[[fi:Parsevalin identiteetti]]▼
[[it:Identità di Parseval]]
▲[[fi:Parsevalin identiteetti]]
[[sv:Parsevals formel]]
▲[[en:Parseval's identity]]
| |||