Diferència entre revisions de la pàgina «Classe (matemàtiques)»

m
r2.7.3) (Robot afegeix: he:מחלקה (תורת הקבוצות); canvis cosmètics
m (r2.7.1) (Robot afegeix: fa:رده)
m (r2.7.3) (Robot afegeix: he:מחלקה (תורת הקבוצות); canvis cosmètics)
En [[teoria de conjunts]] i les seves aplicacions en [[matemàtiques]], una ''classe'' és una col·lecció de [[conjunt]]s (o de vegades altres objectes matemàtics) que poden ser definits sense ambigüitats per una propietat que comparteixen tots els seus membres. La definició precisa de “classe” depèn del context fundacional. A la [[teoria de Zermelo-Fraenkel]], la noció de classe no està formalitzada, mentre que altres teories de conjunts, com la [[teoria de conjunts de Von Neumann-Bernays-Gödel]], [[axioma|axiomatitza]]titza la noció de “classe”.
 
Cada conjunt és una classe, no importa quina fundació es trigui. Una classe que no és un conjunt (informalment en Zermelo-Fraenkel) s'anomena una ''classe pròpia'', i una classe que és un conjunt de vegades s'anomena una ''classe petita''. Per exemple, la classe tots els [[nombre ordinal|nombres ordinals]], així com la classe de tots els conjunts, són classe pròpies en molts sistemes formals.
Fora de la teoria de conjunts, la paraula “classe” s'utilitza de vegades com sinònim de “conjunt”. Aquest ús ve dels períodes històrics en que les classes i els conjunts no es distingien com ara ho fa la terminologia teòrica de conjunts moderna.
 
== Exemples ==
La col·lecció de tots els objectes algebraics d'un tipus donat habitualment és una classe. Exemples d'això inclouen la classe de tots els [[grup (matemàtiques)|grup]], la classe de tots els [[espai vectorial|vectors a l'espai]], i molts d'altres. En [[teoria de categories]], una categoria la col·lecció d'objectes de la qual forma una classe correcta s'anomena una [[categoria gran]].
 
Una forma de demostrar que una classe és correcte, és posar-la en bijecció amb la classe dels nombres ordinals.
 
== Paradoxes ==
La [[paradoxa de la teoria informal de conjunts]] pot ser explicada en termes d'una assumpció inconsistent de que “totes les classes són conjunts”. Amb una fundació rigorosa, aquestes paradoxes suggerixen demostracions de que certes classes són correctes. Per exemple, la [[paradoxa de Russell]] suggereix una demostració de que les classes de tots els conjunts que no contenen a si mateixes és correcte, i la [[paradoxa Burali-Forti]] suggereix que la classe de tots els nombres ordinals és correcte.
 
== Classes en teories formals de conjunts ==
La [[teoria de Zermelo-Fraenkel]] no formalitza la noció de classe, però poden ser descrites en [[metallenguatge]] com una classe equivalent de formules lògiques. Per exemple, si <math>\mathcal A</math> és una [[estructura]] interpretant ZF, llavors l'expressió en metallenguatge <math>\{x\mid x=x \}</math> s'interpreta en <math>\mathcal A</math> per la col·lecció de tots els elements del domini <math>\mathcal A</math>: això és, tots els conjunts d'<math>\mathcal A</math>. Per tant podem identificar les “classes de conjunts” amb el predicat ''x=x'' o qualsevol altre predicat equivalent.
 
 
== Referències ==
* {{Citation|last1=Jech|first1=Thomas|author1-link=Thomas Jech|title=Set Theory|publisher=[[Springer-Verlag]]|edition=third millennium|location=Berlin, New York|series=Springer Monographs in Mathematics|isbn=978-3-540-44085-7|year=2003}}
* {{Citation|authorlink=Azriel Levy|last1=Levy|first1=A.|title=Basic Set Theory|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York |year=1979}}
 
[[Categoria:Teoria de conjunts]]
[[fi:Luokka (matematiikka)]]
[[fr:Classe (mathématiques)]]
[[he:מחלקה (תורת הקבוצות)]]
[[hu:Osztály (halmazelmélet)]]
[[it:Classe (matematica)]]
201.898

modificacions