Element invers: diferència entre les revisions

El concepte d'invers és generalitzable a estructures sense element neutre, sempre i quan mantinguem l'associativitat. Primer, definim el concepte de regularitat. Segons von Neumann, un element ''x'' d'un [[semigrup]] <math>(S,*)</math> és regular si existeix un altre element ''y'' en ''S'' tal que <math>x*y*x = x</math>. Direm aleshores que ''y'' és un '''pseudoinvers''' de ''x''. Direm, en canvi, que ''y'' és un '''invers''' de ''x'' si <math>x*y*x = x</math> i a més <math>y = y*x*y</math>. Noteu que, si existeix, l'invers no és necessàriament únic.

* Si ''y'' és un invers de ''x'', aleshores <math>e=x*y</math> i <math>f=y*x</math> són [[idempotència|elements idempotents]]: <math>e*e=e</math>, <math>f*f=f</math>. Per tant, tota parella d’elements mútuament inversos genera una parella d’elements idempotents, i <math>e*x=x*f=x</math>, <math>y*e=f*y=y</math>, és a dir, ''e'' actua com a [[element neutre|identitat]] per l’esquerra per a ''x'', mentre que ''f'' actua com a identitat per la dreta, amb els papers intercanviats en el cas de ''y''. Tota parella d'inversos mutus, genera doncs, un element neutre local per l'esquerra i un element neutre local per la dreta.