Revisió del 21:20, 9 nov 2012 modifica EVA (bot) (discussió \| contribucions) Bots 851.856 edits m 'Sempre i quan' és un castellanisme ← Edició anterior		Revisió del 21:26, 9 nov 2012 modifica desfés EVA (bot) (discussió \| contribucions) Bots 851.856 edits m Robot: Reemplaçament automàtic de text (- + ) Edició següent →
Línia 4: == Invers en un grupoide unitari == Quan l'operació no és commutativa cal distingir entre element invers per l'esquerra i invers per la dreta. Sigui ''x'' un element del [[grupoide]] unitari <math>(A,)</math>, i ''e'' l'element neutre de l'operació <math></math> a ''A''. * Si existeix un element <math>\overrightarrow{x}:A</math> tal que <math>\overrightarrow{x} * x = e</math>, direm que ''x'' és '''invertible per l'esquerra''' i que <math>\overrightarrow{x}</math> és l''''invers per l'esquerra''' de ''x''. Un element invertible per l'esquerra és [[element simplificable\|simplificable]] per l'esquerra. * Si existeix un element <math>\overleftarrow{x}:A</math>tal que <math>x * \overleftarrow{x} = e</math>, direm que ''x'' és '''invertible per la dreta''' i que <math>\overleftarrow{x}</math> és l''''invers per la dreta''' de ''x''. Un element invertible per la dreta és [[element simplificable\|simplificable]] per la dreta. * Si un element és invetible per l'esquerra i per la dreta, i els seus inversos són iguals, diem que és '''invertible bilateral''' o simplement '''invertible''': <math>x * \bar{x} = \bar{x} * x = e</math>. En aquest cas el parell <math>x</math> i <math>\bar{x}</math> commuten. Un element invertible és [[element simplificable\|simplificable]]. Línia 14: El concepte d'invers és generalitzable a estructures sense element neutre, sempre que mantinguem l'associativitat. Primer, definim el concepte de regularitat. Segons von Neumann, un element ''x'' d'un [[semigrup]] <math>(S,)</math> és regular si existeix un altre element ''y'' en ''S'' tal que <math>xyx = x</math>. Direm aleshores que ''y'' és un '''pseudoinvers''' de ''x''. Direm, en canvi, que ''y'' és un '''invers''' de ''x'' si <math>xyx = x</math> i a més <math>y = yxy</math>. Noteu que, si existeix, l'invers no és necessàriament únic. Tot element regular té al menys un invers. Si <math>x = xzx</math> aleshores <math>y = zxz</math> és un invers de ''x'' en el sentit a dalt definit. * Si ''y'' és un invers de ''x'', aleshores <math>e=xy</math> i <math>f=yx</math> són [[idempotència\|elements idempotents]]: <math>ee=e</math>, <math>ff=f</math>. Per tant, tota parella d’elements mútuament inversos genera una parella d’elements idempotents, i <math>ex=xf=x</math>, <math>ye=fy=y</math>, és a dir, ''e'' actua com a [[element neutre\|identitat]] per l’esquerra per a ''x'', mentre que ''f'' actua com a identitat per la dreta, amb els papers intercanviats en el cas de ''y''. Tota parella d'inversos mutus, genera doncs, un element neutre local per l'esquerra i un element neutre local per la dreta. {{ORDENA:Element Invers}} <!--ORDENA generat per bot-->

Element invers: diferència entre les revisions