Tensor d'inèrcia: diferència entre les revisions

Suposem que tenim un sòlid rígid, i elegim un punt de l'espai <math>A</math> (que pot o no pertànyer al sòlid) a on calcularem el tensor d'inèrcia. Per referir-nos als punts de l'espai farem servir la base <math>\{ \mathbf{\hat e}_1, \mathbf{\hat e}_2, \mathbf{\hat e}_3\}</math> que té origen de coordenades <math>A</math>. D'aquesta manera, qualsevol punt del sòlid es pot escriure com:

{{equació|<math>\mathbfboldsymbol x = x_1 \mathbf{\hat e}_1 + x_2 \mathbf{\hat e}_2 + x_3\mathbf{\hat e}_3</math>}}

Anomenarem <math>V</math> a la regió de l'espai que ocupa el sòlid, i considerarem que <math>\rho(\mathbf x)</math> és la densitat de massa del punt <math>\mathbfboldsymbol x</math>. Amb tot això, les components del tensor d'inèrcia en aquesta base vénen donades per la següent expressió:

{{equació|1=<math>I_{ij} = \int_V \rho(\mathbfboldsymbol x) ( \delta_{ij} \sum_{k=1}^3 x_k^2 - x_i x_j) \, \mathrm d^3 x </math> |2= |3=}}