|
La decisió de quins polinomis són irreductibles depèn de quin [[cos (matemàtiques)|cos]] d'[[escalar (matemàtiques)|escalar]]s s'adopti. Si es treballa amb [[nombre real|nombres reals]], llavors els polinomis irreductibles són de grau 1 o 2. Si es permeten [[nombre complex|nombres complexos]], només els polinomis de primer grau són irreductibles. Finalment, si es permeten només [[nombre racional|nombres racionals]], o un [[cos finit]], llavors els graus dels polinomis irreductibles poden ser més elevats.
== Principis bàsics ==
Els principis bàsics relacionats amb aquest procediment són força simples.
Si s'assumeix una funció racional ''R''(''x'') = ''ƒ''(''x'')/''g''(''x'') en una [[indeterminada (variable)|indeterminada]] ''x'', té un denominador que factoritza com:
:<math> g(x) = P(x) \cdot Q(x) \, </math>
en un camp ''K'' (poden ser tant nombres reals com complexos). Si ''P'' i ''Q'' no tenen cap factor comú, llavors es pot escriure ''R'' com
:<math> \frac{A}{P} + \frac{B}{Q}</math>
per alguns polinomis ''A''(''x'') i ''B''(''x'') sobre ''K''. L'existència de tal descomposició és la conseqüència del fet que l'[[anell de polinomis]] sobre ''K'' és un [[domini d'ideals principals]], de tal manera que
:<math>CP + DQ = 1 \, </math>
per alguns polinomis ''C''(''x'') i ''D''(''x'') (vegeu [[identitat de Bézout]]).
Si es fa servir aquesta idea de manera inductiva es pot escriure ''R''(''x'') com una soma amb potències de [[polinomi irreductible|polinomis irreductibles]] als denominadors. Per portar-ho més lluny, si cal, s'escriu:
:<math>\frac {G(x)}{F(x)^n}</math>
Com una suma amb potències als denominadors de ''F'' i numeradors de grau menor que ''F'', més un polinomi extra possible. Això es pot fer amb l'[[algorisme euclidià]]. El resultat és el teorema que segueix:
{{teorema|1=Siguin ''ƒ'' i ''g'' dos polinomis diferents de zero d'un cos ''K''. S'escriu ''g'' com el producte de potències de diferents polinomis irreductibles:
: <math>g=\prod_{i=1}^k p_i^{n_i}.</math>
Aquests són els polinomis (únics) ''b'' i ''a''<sub> ''ij''</sub> amb gr ''a''<sub> ''ij''</sub> < gr ''p''<sub> ''i''</sub> de tal manera que
: <math>\frac{f}{g}=b+\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^{n_i}\frac{a_{ij}}{p_i^j}.</math>
Si gr ''ƒ'' < gr ''g'', llavors ''b'' = 0.}}
Therefore when the field ''K'' is the complex numbers, we can assume that each ''p''<sub>''i''</sub> has degree 1 (by the [[fundamental theorem of algebra]]) the numerators will be constant. When ''K'' is the real numbers, some of the ''p''<sub>''i''</sub> might be quadratic, so in the partial fraction decomposition a quotient of a linear polynomial by a power of a quadratic will occur.
In the preceding theorem, one may replace "distinct irreducible polynomials" by "[[pairwise coprime]] polynomials that are coprime with their derivative". For example, the ''p''<sub>''i''</sub> may be the factors of the [[square-free factorization]] of ''g''. When ''K'' is the field of the rational numbers, as it is typically the case in [[computer algebra]], this allows to replace factorization by [[polynomial greatest common divisor|greatest common divisor]] to compute the partial fraction decomposition.
== Vegeu també ==
| 