El polinomi ''p''<sub>''A''</sub>(''t'')esés [[Polinomi mònic|mònic]] (el seu coeficient dominantlíder és 1) i de grau ''n''. El fet més important sobre el polinomi característic ja fou anomenat en el paràgraf de motivació: els valors propis d'de ''A'' són precisament les [[Arrel d'una funció|arrels]] de ''p''<sub>''A''</sub>(''t''). El coeficientterme constantindependent ''p''<sub>''A''</sub>(0) és igual a (−1)<sup>''n''</sup> vegades el determinant d'det(''A''), i el coeficient del terme de ''t''<sup>grau ''n'' − 1</sup> és igual a -−tr(''A''), la [[traça]] d'de ''A''. Per a una matriu ''A'' de mida 2×2, el polinomi característic es pot expressar com: ''p''<sub>''A''</sub>(''t'') = ''t''<sup>2</sup> − tr(''A'')''t'' + det(''A'').
Tots els polinomis [[nombres reals|reals]] de grau senar tenen almenys un nombre real com a arrel, de manera que per a tot ''n'' senar, todtatota matriu real té almenys un valor propi real. La majoria dels polinomis reals de grau parell no tenen arrels reals, però el [[teorema fonamental de l'àlgebra]] diu que tot polinomi de grau ''n'' té ''n'' arrels [[nombre complex|complexes]], comptades amb les seves [[Multiplicitat|multiplicitats]]. Les arrels no reals de polinomis reals, per tant valors propis no reals, apareixen en parelles [[Conjugat|conjugades]].
El [[teorema de Cayley-Hamilton]] diu que si substituïm ''t'' per ''A'' en l'expressió de ''p''<sub>''A''</sub>(''t'') obtenim la [[matriu nul·la]]: ''p''<sub>''A''</sub>(''A'') = 0. És a dir, tota matriu satistàsatisfà el seu propi característic. Com a conseqüència d'aquest fet, es pot demostrar que el [[polinomi mínim]] d'de ''A'' per definició divideix el polinomi característic d'de ''A''.
Dues matrius [[semblança (matemàtiques)|semblants]] tenen el mateix polinomi característic. El recíproc no és cert en general: dues matrius amb el mateix polinomi característic no són necessàriament semblants.
La matriu ''A'' i la seva [[matriu transposada|transposada]] tenen el mateix polinomi característic. ''A'' és semblant a una [[matriu triangular]] si i només si el seu polinomi característic pot ser completament factoritzat en factors lineals sobre ''K''. De fet, ''A'' és fins i tot semblant a una matriu en [[forma canònica de Jordan]].
''A'' és semblant a una [[matriu triangular]] si i només si el seu polinomi característic pot ser completament factorizat en factors lineals sobre ''K''.
De fet, ''A'' és fins i tot semblant a una matriu en [[forma canònica de Jordan]].
{{ORDENA:Polinomi Caracteristic}} <!--ORDENA generat per bot-->
