Donada una matriu quadrada ''A'', volem trobar un polinomi tal que les seves arrels siguin precisament els valors propis d'de ''A''. Per a una [[matriu diagonal]] ''A'', el polinomi característic és fàcil de definir: si els elements de la diagonal són ''x''<mathsub>x_i''i</mathsub> per a tottota <math>i\in \{ 1 , \dots , n \} </math>, el polinomi característic en la indeterminada <math>''t</math>'' és
El polinomi té aquesta forma ja que els elements de la diagonal d'una matriu diagonal coincideixen amb els seus valors propis.
Per a una matriu ''A'' genèrica, es pot procedir de la següent forma: Si λ és un valor propi d'de ''A'', aleshores existeix un [[vector propi]] ''v''≠0 ≠ '''0''' tal que
:<math>A v = \lambda v \,\!</math>
és a dir,
o
:<math>(A - \lambda I)v = 0 \,\!</math>
(on '''''I''''' és la [[matriu identitat]]). Com que '''v''' és no nul, la matriu λ'''''I''''' − ''A'' és [[matriu singular|singular]], la qual cosa implica que el seu [[Determinant (matemàtiques)|determinant]] és 0. Acabem de veure que les arrels de la funció [[Determinant (matemàtiques)|det]](''A''- − ''t'' '''''I''''') són els valors propis d'de ''A''. Com que aquesta funció és un polinomi en ''t'', ja hem trobat el polinomi que cercàvem.
