Diferència entre revisions de la pàgina «Triangulació d'un polígon»

Elimino article parts de l'article abandonat a millorar
m (Robot: Reemplaçament automàtic de text (-FR = si}} +FR = si | data = desembre de 2012}}))
(Elimino article parts de l'article abandonat a millorar)
{{MM|2L = si|FR = si | data = desembre de 2012}}
[[Fitxer: Triangulación.svg|thumb|Triangulació d'un polígon]]
En [[geometria]], la ''' triangulació d'un polígon ''' o àrea poligonal és una [[partició (matemàtica)|partició]] d'aquesta àrea en un conjunt de [[triangles]].<ref name= bkos>{{Citation|author = [[Mark de Berg]], [[Marc van Kreveld]], [[Mark Overmars]], and [[Otfried Schwarzkopf]] | year = 2000 | title = Computational Geometry | publisher = [[Springer-Verlag]] | edition = 2nd revised | isbn = 3-540-65620-0}} Chapter 3: Polygon Triangulation: pp.45–61.</ref>
 
De manera més precisa, una triangulació és una divisió de l'àrea en un conjunt de triangles que compleixen les següents condicions:
* La unió de tots els triangles és igual al polígon original.
* Els vèrtexs dels triangles són vèrtexs del polígon original.
* Qualsevol parella de triangles és [[disjunta]] o comparteix únicament un vèrtex o una banda.
 
La definició anterior és la estàndard en [[geometria computacional]] encara que en certs contextos, en parlar de triangulacions, es pot fer cas omís del segon requisit. En aquest cas, no es requereix que els vèrtexs dels triangles siguin vèrtexs del polígon i per referir-se a les triangulacions que sí que satisfan el requisit es parla de '' triangulacions completes ''. <ref>{{Cita llibre|cognom = Trias Pairó|nom = Joan|enlaceautor =|títol = Geometria per a la informàtica gràfica i CAD|url = de novembre de 2011|idioma =|altres = Vol 129 de POLITEXT: Matemàtica i Estadística|edició = 1 ª|any = 2003|editor =|editorial = Edicions UPC|ubicació = Barcelona|isbn = 8483017024, 9788483017029|capítol = 3.9 Triangulació de polígons simples|pàgina = 151}}</ref> <ref>{{cita llibre|cognom = Hernández Cifre|nom = María Ángeles i José Antonio Pastor González|enlaceautor =|títol = Un curs de geometria diferencial: teoria, problemes , solucions i pràctiques amb ordinador|Fechaacceso = 25 novembre 2011|idioma =|altres = Vol 47 de Textos universitaris, Consell Superior d'Investigacions Científiques (Espanya).|Edició =|any =|editor =|editorial = CSIC, Edicions Dotze Carrers|ubicació = Espanya|isbn = 840009154X, 9788400091545|capítol = 6.2.1 Triangulacions. La característica d'Euler-Poincaré|pàgina = 232}}</ref>
 
La partició d'una superfície en triangles es denomina també [[Xarxa irregular de triangles|malla triangular]] en [[trigonometria]] i en geometria elemental. I des del punt de vista de la [[teoria de grafs]], les triangulacions són «grafs no orientats sense arestes múltiples», els subgrafs són "cercles de tres nodes" (i corresponentment tres arestes). Una generalització de les malles triangulars són les malles poligonals.
 
== Triangulacions de polígons convexos ==
En el cas de polígons [[convex]] s, la quantitat de triangulacions possibles depèn únicament del nombre de costats del polígon. Representant per <math> t_n </math> al nombre de triangulacions d'un polígon d''' n '' costats, es compleix la següent [[relació de recurrència]]:
{{Equació|1 = <math> t_n = t_2t_{n-1}+t_3t_{n-2}+\cdots+t_{n-1}t_2 </math>,}}
la qual té per solució la fórmula
{{Equació|1 = <math> t_n = \frac{1}{n-1}\binom{2n-4}{n-2}</math>.}}
 
En altres paraules, s'estableix el següent teorema: <ref>{{cita llibre|autor = Jesús D. Loera|autor2 = Jörg Rambau|autor3 = Francisco Santos|editorial = Springer|any = 2010|isbn = 9783642129704|títol = Triangulations: Structures for Algorithms and Applicacions|sèrie = Algorithms and Computation in Mathematics|volum = 25|idioma = anglès}}</ref>
{{Teorema|1 = El nombre de particions d'un polígon convex de '' n '' costats és igual al ('' n '' -2)-èsim [[nombre de Catalan]], és a dir:
{{Equació|1 = <math> t_n = C_{n-2}= \frac{1}{n-1}\binom{2n-4}{n-2}</math>.}}
}}
 
== Generalitzacions ==
Es defineix una '' triangulació '' d'un [[polítop]] en un espai de dimensió '' n '' com una conjunt de [[símplex|simplejos]] de dimensió '' n '' tals que:
* La unió de tots els simplejos és igual al polítop.
* Qualsevol parell de simplejos es disjunt o la seva intersecció és exactament alguna cara comú.
 
== Triangulacions especials ==
Sovint interessa calcular una triangulació amb propietats especials. Per exemple, hi ha les [[Triangulació de Delaunay|triangulacions de Delaunay]], que eviten els angulos aguts en els triangles, o les [[Triangulació de mínima ponderació|triangulacions de mínima ponderació]] ('' Minimum-weight Triangulation ''), en què es minimitza la longitud total de les arestes.
 
== Vegeu també ==
 
== Referències ==
{{amagaReferències}}
 
 
104.889

modificacions