Coordenades polars: diferència entre les revisions

Com que el sistema de coordenades és de dues dimensions, cada punt ve determinat per dues coordenades polars: la coordenada radial i la coordenada angular. La coordenada radial (normalment denotada per ''r'' ) denota la distància del punt al punt central (conegut com pol i equivalent a l'''origen'' en el sistema cartesià). La coordenada angular (també anomenada angle polar o angle [[azimut]]al, i normalment denotat per θ o ''t'' ) denota l'angle positiu (o angle mesurat en [[sentit antihorari]]) per arribar al punt a partir de l'eix polar o radi de 0° (que és equivalent a l'eix x positiu en les coordenades cartesianes).<ref name="brown">{{Ref-llibrecite book

}}</ref><ref>{{Ref-llibrecite book

Un aspecte important del sistema de coordenades polar, que no es dóna en el sistema de coordenades cartesianes, és que un únic punt es pot expressar amb un nombre infinit de coordenades diferents. Això és a causa del fet que es pot donar un nombre qualsevol de voltes senceres entorn al pol sense afectar la posició dels punts representats. En general, el punt (<math>r</math>,  θ) es pot representar com (<math>r</math>,  θ  ±  <math>n</math>×360°) o (−<math>r</math>,  θ  ±  (2<math>n</math>  +  1)180°), on <math>n</math> és qualsevol [[Nombre enter|enter]].<ref>{{citar web

Les coordenades (0,  θ) es fan servir, per convenció, per representar el pol, donat que independentment de la coordenada θ, qualsevol punt sobre un radi de longitud 0 estarà sempre al pol.<ref>{{Ref-llibrecite book|title=Precalculus: With Unit-Circle Trigonometry|last=Lee|first=Theodore|coauthors=David Cohen, David Sklar|year=2005|publisher=Thomson Brooks/Cole|edition=Fourth Edition|isbn=0534402305}}</ref> Per obtenir una representació única de cada punt, és habitual de limitar <math>r</math> als [[nombre negatiu|nombres no negatius]] <math>r</math>  ≥  0 i θ a l'[[interval (matemàtiques)|interval]] [0,  360°) o (−180°,  180°] (o, en radians, [0,  2π) o (−π,  π]).<ref>{{Ref-llibrecite book|title=Complex Analysis (the Hitchhiker's Guide to the Plane)|first=Ian|last=Stewart|coauthors=David Tall|year=1983|publisher=Cambridge University Press|isbn=0521287634}}</ref>

Els angles, quan es fa servir la notació polar, en general s'expressen tant en [[grau sexagesimal|graus]] com en [[radian]]s, fent servir la conversió 2[[π]] rad = 360°. La tria depèn fonamentalment del context. En [[navegació marítima]] es fan servir els graus, mentre que en algunes aplicacions en [[física]] (especialment en mecànica de rotació) i gairebé tota la literatura sobre [[càlcul infinitesimal]] fan servir els radians.<ref>{{Ref-llibrecite book

D'una equació que defineix una [[corba algebraica]] expressada en coordenades polars, se'n diu ''equació polar''. En molts casos, aquesta equació es pot especificar a base de definir <math>r</math> com una [[funció (matemàtiques)|funció]] de θ. Llavors, la corba que en resulta consisteix en punts de la forma (<math>r</math>(θ),  θ) i pot ser considerada com la [[Gràfica d'una funció|gràfica de la funció polar]] <math>r</math>.

A partir de l'equació d'una funció polar <math>r=f(\theta)</math> es poden deduir diferents formes de [[simetria]]. Si <math>r</math>(−θ)  =  <math>r</math>(θ) la corba serà simètrica respecte del radi horitzontal (0°/180°), si <math>r</math>(π−θ)  =  <math>r</math>(θ) serà simètrica respecte del radi vertical (90°/270°), i si <math>r</math>(θ−α°)  =  <math>r</math>(θ) tindrà [[simetria]] de rotació α° en sentit contrari de les agulles del rellotge al voltant del pol.

[[Fitxer:circle r=1.PNG|thumb|Un cercle d'equació <math>r</math>(θ)  =  1]]

L'equació general d'un cercle amb centre a (<math>r</math>₀,  φ) i de radi <math>a</math> és

on φ és l'angle d'elevació de la línia; es a dir, φ  =  arctan  <math>m</math> on <math>m</math> és el [[Pendent (matemàtiques)|pendent]] de la recta en el sistema de coordenades cartesianes. La recta no radial que talla la recta radial θ  =  φ [[perpendicular]]ment al punt (<math>r</math>₀, φ) té per equació

[[Fitxer:rose r=2sin(4theta).PNG|thumb|Una rosa d'equació <math>r</math>(θ)  =  2  sin  4θ]]

[[Fitxer:Archimedian spiral.PNG|thumb|Un braç d'una espiral d'Arquimedes d'equació ''r''(θ)  =  θ per 0  <  θ  <  6π]]

Canviant el paràmetre ''a'' es fa girar l'espiral, mentre que '''''b''''' controla la distància entre els braços, la qual per una espiral donada és constant. L'espiral d'Arquimedes té dos braços, un per θ  >  0 i un altre per θ  <  0. Els dos braços es connecten suaument al pol. Prenent la imatge especular d'un braç respecte de la recta de 90°/270° s'obté l'altre braç. Aquesta corba és notable per ser una de les primeres corbes, després de les [[còniques]] que es va descriure als tractats de matemàtiques, i per ser el primer exemple d'una corba que es defineix millor per la seva equació polar.

on ''e'' és l'[[excentricitat]] i <math>\ell</math> és el ''semi-latus rectum'' (la distància mesurada sobre la perpendicular a l'eix major que passa pel focus entre el focus i la corba). Si ''e''  &gt;  1, aquesta equació defineix una [[hipèrbola]]; si ''e''  =  1, defineix una [[paràbola]]; i si ''e'' &lt; 1, defineix una [[el·lipse]]. El cas especial de l'el·lipse en què ''e'' = 0 en resulta una circumferència de radi <math>\ell</math>.

{{Ref-llibrecite book

Dividint la segona equació entre la primera dóna el pendent cartesià de la recta tangent a la corba al punt (''r'',  ''r''(θ)):

Sia ''R'' la regió tancada per la corba ''r''(θ) i els radis θ = ''a'' and θ = ''b'', on 0  <  ''b''  −  ''a''  <  2π. Llavors l'àrea de ''R'' és

Aquest resultat es pot obtenir tal com segueix. Primer, l'interval [''a'',  ''b''] es divideix en ''n'' subintervals, on ''n'' és un enter positiu qualsevol. Per tant Δθ, la longitud de cada subinterval, és igual a ''b''  −  ''a'' (la longitud total de l'interval), dividida entre ''n'', el nombre de subintervals. Per cada subinterval ''i'' = 1, 2, …, ''n'', sia θ_''i'' el punt mig del subinterval, i es construeix un [[sector circular]] amb centre al pol, radi ''r''(θ_''i''), angle centra Δθ i longitud d'arc <math>r(\theta_i)\Delta\theta\,</math>. L'àrea de cada un dels sectors que s'ha construït és igual a <math>\tfrac12r(\theta_i)^2\Delta\theta</math>. Per tant l'àrea total de tots els sectors és

Els sistemes que són radialment asimètrics també es poden modelitzar fent servi coordenades polars. Per exemple, els patrons polars d'un [[micròfon]] il·lustren la seva resposta proporcional a un so entrant provinent d'una direcció donada, i aquests patrons es poden representar com corbes polars. La corba per un micròfon cardioide estàndard, el micròfon unidireccional més comú, es pot representar com {{nowrap|1=''r'' = 0.5 + 0.5 sin θ}}.<ref>{{Ref-llibrecite book |last=Eargle |first=John |title=Handbook of Recording Engineering |year=2005 |edition=Quarta edició |publisher=Springer |isbn = 0387284702}}</ref> El patró es modifica passant cap a l'omnidireccionalitat a freqüències baixes.

* {{Ref-llibrecite book|last=Anton|first=Howard|coauthors=Irl Bivens, Stephen Davis|title=Calculus|edition=Seventh Edition|year=2002|publisher=Anton Textbooks, Inc.|isbn=0-471-38157-8}}

* {{Ref-llibrecite book|last=Finney|first=Ross|coauthors=George Thomas, Franklin Demana, Bert Waits|title=Calculus: Graphical, Numerical, Algebraic|edition=Single Variable Version|year=1994|month=Juny|publisher=Addison-Wesley Publishing Co.|isbn=0-201-55478-X}}