Viquipèdia

Partició (matemàtiques): diferència entre les revisions

Exploració interactiva de l'historial
← Edició anteriorEdició següent →
Contingut suprimit Contingut afegit
VisualWikitext
preparant la fusió
material fusionat i parcialment revisat
Línia 1:
{{fusió|Partició}}
[[Fitxer: Set partition.svg|thumb|220px|Partició del cercle en 6 parts{A <sub> 1 </sub>, ... , A <sub> 6 </sub>}]]
UnaEn [[matemàtiques]], una '''partició''' d'un [[conjunt]] A, és una subdivisió en diversos [[subconjunt|subconjunts]]s no buits, de forma quecada totselement elsdel elements de A esconjunt trobenpertany a un, i només un, dels subconjunts.▼
En [[matemàtica]], la [[família de conjunts|família de subconjunts]] {A <sub> i </sub>: '' i '' ∈ I} d'un [[conjunt]] A és una ''' partició ''' (sobre A) si es compleix que:
Més formalment, donat un conjunt ''A'', una partició de ''A'' és un conjunt {A <sub>i</sub>| ''i'' ∈ I} de parts de ''A'' tal que
# Els ''A''<sub>i</sub> no són buits.
# <math> \bigcup_cup_{i \in I} A_i = A </math>.▼
# Si <math> A_i \cap A_j \neq \emptyset</math> \Rightarrowaleshores <math>A_i = A_j </math>.▼
 
# <math> A_i \neq \emptyset </math> per a tot <math> i \in I </math>.
▲# <math> \bigcup_{i \in I}A_i = A </math>.
▲# <math> A_i \cap A_j \neq \emptyset \Rightarrow A_i = A_j </math>.
 
Per tant, es tracta d'un [[recobriment (matemàtiques)|recobriment]] en el qual els [[subconjunt]] s pertanyents a la família, dos a dos, són [[conjunts disjunts|disjunts]] (és a dir, el seu [[intersecció]] és [[conjunt buit|buida]]).
== Exemples ==
* Tot conjunt d'un element {'' x ''} té exactament una partició: { {'' x ''} }.
* Per a qualsevol conjunt no buit '' X '', '' P '' = {'' X ''} és una partició de '' X ''.
* El conjunt {1, 2, 3} té aquestes 5 particions:
**{ {1},{2},{3} }, de vegades expressada 1/2/3.
**{ {1, 2},{3} }, de vegades expressada 12/3.
**{ {1, 3},{2} }, de vegades expressada 13/2.
**{ {1},{2, 3} }, de vegades expressada 1/23.
**{ {1, 2, 3} }, de vegades expressada 123.
* Observeu que
**{ {},{1,3},{2} }, no és una partició (ja que conté el conjunt buit).
 
== El nombre de particions d'un conjunt finit ==
El [[nombre de Bell]] '' B ''<sub>''n ''</sub>, anomenat així en honor a [[Eric Temple Bell]], és el nombre de particions diferents d'un conjunt finit amb '' n '' elements. Els primers nombres de Bell són:▼
:'' B '' <sub> 0 </sub> = 1, '' B '' <sub> 1 </sub> = 1, '' B '' <sub> 2 </sub> = 2, '' B '' <sub> 3 </sub> = 5, '' B '' <sub> 4 </sub> = 15, '' B '' <sub> 5 </sub> = 52, '' B '' <sub> 6 </sub> = 203 [http://www.research.att.com/~njas/sequences/A000110 OEIS:successió]▼
 
Els nombres de Bell satisfan la següent relació recursiva: <math> B_{n+1}= \sum_{k = 0}^n{n \choose k}B_k </math>.▼
 
 
==Preparant la fusió==
 
▲Una '''partició''' d'un [[conjunt]] A, és una subdivisió en diversos [[subconjunt|subconjunts]] no buits, de forma que tots els elements de A es troben a un, i només un, dels subconjunts.
:''Per exemple, si tenim el conjunt A={1,2,3,a,b,c}, una possible partició seria: B={1}, C={2,a}, D={b,c} i E={3}.''
 
==Propietats característiques de la partició==
La [[unió]] de tots els subconjunts que formen la partició és igual al conjunt de referència.
:<math>B \cup C \cup D ... = A</math>, sent B,C,D... els subconjunts que particionen A.
 
Els subconjunts que formen la partició són disjunts dos a dos:
:<math>B \cap C = B\cap D = C \cap D = \dots = \emptyset</math>, sent B,C,D... els subconjunts que particionen A.
 
==Nombre de particions possibles d'un conjunt finit==
Tot conjunt finit té un nombre finit de particions possibles. Aquestes particions es poden determinar mitjançant [[combinatòria]].
:''Per exemple, donat el conjunt {1,2,3,4}, aquestes són totes les particions possibles:''
Linha 46 ⟶ 26:
:''3 subconjunts: {1,2}{3}{4}; {1,3}{2}{4}; {1,4}{2}{3}; {2,3}{1}{4}; {2,4}{1}{3}; {3,4}{1}{2}''
:''4 subconjunts: {1}{2}{3}{4}''
▲El [[nombre de Bell]] '' B ''<sub>''n ''</sub>, anomenat així en honor a [[Eric Temple Bell]], és el nombre de particions diferents d'un conjunt finit amb '' n '' elements. Els primers nombres de Bell són:
▲:'' B '' <sub> 0 </sub> = 1, '' B '' <sub> 1 </sub> = 1, '' B '' <sub> 2 </sub> = 2, '' B '' <sub> 3 </sub> = 5, '' B '' <sub> 4 </sub> = 15, '' B '' <sub> 5 </sub> = 52, '' B '' <sub> 6 </sub> = 203 [http://www.research.att.com/~njas/sequences/A000110 OEIS:successió]
 
▲Els nombres de Bell satisfan la següent relació recursiva: <math> B_{n+1}= \sum_{k = 0}^n{n \choose k}B_k </math>.
 
 
 
== Vegeu també ==
* [[recobrimentRecobriment (matemàtiques)]]
 
 
{{ORDENA:Particio Matematiques}} <!--ORDENA generat per bot-->
Obtingut de «https://ca.wikipedia.org/wiki/Partició_(matemàtiques)»