Revisió del 15:00, 19 març 2013 modifica Txebixev (discussió \| contribucions) Autopatrullats 3.406 edits →‎Exemples: gràfiques ← Edició anterior		Revisió del 15:06, 19 març 2013 modifica desfés Txebixev (discussió \| contribucions) Autopatrullats 3.406 edits →‎Exemples: millores variades Edició següent →
Línia 18: [[Image:C0 function.svg\|right\|thumb\|La funció ''f''(''x'')=''x'' per a ''x''≥0 i 0 altrament és de classe C<sup>0</sup> però no diferenciable.]] [[Image:TV pic3.png\|thumb\|right\|La funció ''f''(''x'')=''x''<sup>2</sup> sin(1/''x'') per a ''x''≠0 i 0 altrament és diferenciable però no de classe C<sup>1</sup>.]] [[Image:Mollifier illustration.png\|right\|thumb\|300px\|Una funció llisa que no és analítica.]]▼ La funció : <math>f(x) = \begin{cases}x & \mbox{si }x \ge 0, \\ 0 &\mbox{si }x < 0\end{cases}</math> és continua, però no diferenciable a ''x'' = 0, així que és de classe ''C<sup>0</sup>'' però no de classe ''C<sup>1</sup>''. La funció Línia 27: És diferenciable, amb derivada :<math>f'(x) = \begin{cases}-\mathord{\cos(\tfrac{1}{x})} + 2x\sin(\tfrac{1}{x}) & \mbox{si }x \neq 0, \\ 0 &\mbox{si }x = 0.\end{cases}</math> Com que cos(1/''x'') oscil·la quan ''x'' → 0, ''f'' '(''x'') no és continua al zero. Per això, aquesta funció és diferenciable però no de classe C<sup>1</sup>. Modificant aquest exemple a Com que cos(1/''x'') oscil·la quan ''x'' → 0, ''f'' '(''x'') no és continua al zero. Per això, aquesta funció és diferenciable però no de classe ''C''<sup>1</sup>. A més, si un agafa {{nowrap begin}}''f''(''x'') = ''x''<sup>3/2</sup>sin(1/''x''){{nowrap end}} {{nowrap begin}}(''x'' ≠ 0){{nowrap end}} en aquest exemple, es pot utilitzat per mostrar que la funció derivada d'una funció diferenciable pot ser no fitada en un[[espai compacte\|conjunt compacte]] i, per tant, que una funció diferenciable en un conjunt compacte pot no ser localment [[Funció Lipschitz\|contínua Lipschitz]]. {{nowrap begin}}''f''(''x'') = ''x''<sup>3/2</sup>sin(1/''x''){{nowrap end}} {{nowrap begin}}(''x'' ≠ 0){{nowrap end}} es veu que la funció derivada d'una funció diferenciable pot ser no fitada en un [[espai compacte\|conjunt compacte]] i, per tant, que una funció diferenciable en un conjunt compacte pot no ser localment [[Funció Lipschitz\|lipschitziana]]. Les funcions : <math>f(x)=\|x\|^{k+1}</math>, on ''k'' és parell, són contínues i ''k'' vegades diferenciables en tot ''x''. Però a ''x'' = 0 no són (''k''+1) vegades diferenciables, així que són de classe ''C<sup>''k''</sup>'' però no de classe ''C<~~sup>j</~~sup>'' on k''~~j''~~ +1</sup> ~~''k''~~. ▲[[Image:Mollifier illustration.png\|right\|thumb\|300px\|Una funció llisa que no és analítica.]] La [[funció exponencial]] és analítica, i doncs, de classe ''C''<sup>ω</sup>. Les [[funció trigonomètrica\|funcions trigonomètriques]] també són analítiques arreu on estan definides. La funció :<math>f(x) = \begin{cases}e^{-\frac{1}{1-x^2}} & \mbox{ si } \|x\| < 1, \\ 0 &\mbox{ altrament }\end{cases}</math> és llisa, doncs de classe ''C<sup>∞</sup>'', però no és analítica a ''x'' = ±1, així que no és de classe ''C''<sup>ω</sup>. La funció ''f'' és un exemple d'una funció llisa amb suport compacte. ===Classes de diferenciabilitat en diverses variables===

Classe de diferenciabilitat: diferència entre les revisions