Teorema dels quatre quadrats: diferència entre les revisions

cap resum d'edició
mCap resum de modificació
Cap resum de modificació
{{article escolar}}
{{millorant}}
 
El '''teorema dels quatre quadrats''' de Lagrange, també anomenat teorema de Bachet, va ser demostrat en [[1770]] per [[Joseph Louis Lagrange]]. Diu que qualsevol enter positiu és la suma de quatre quadrats enters.
 
<math>310 = 17 ^2+ 4 ^2 +2 ^2+ 1 ^2 </math>
 
 
 
 
 
Una altre generalització possible és: donatdonats elels nombrenombres naturalnaturals ''a'', ''b'', ''c'', ''d'', es podria resoldre:
 
(*) <math> n = a{x_1}^2 + b{x_2}^2 + c{x_3}^2 + d{x_4}^2</math>
Una altre generalització possible és: donat el nombre natural a, b, c, d, es podria resoldre
 
(*)<math> n = a{x_1}^2 + b{x_2}^2 + c{x_3}^2 + d{x_4}^2</math>
 
on <math>x_1</math>, <math>x_2</math>, <math>x_3</math>, <math>x_4</math> corresponen a nombres naturals positius.
cada número positiu n correspon x1, x2, x3, x4...
 
 
 
El cas <math>a=b=c=d=1</math> es contesta per elpel teorema dels quatre quadrats .
Ramanujan va dir la solució general, demostrant que si assumim, sense la pèrdua de generalitat, que una a≤b≤ c ≤ d, llavors hi han exactament 54 opcions possibles per a la a, b, c, i d, tal que (*) es soluble en nombres enters x1, x2, x3, x4 per a tota la n.
[[Srinivāsa Rāmānujan|Rāmānujan]] va donar la solució general, demostrant que si assumim, sense pèrdua de generalitat, que <math>a \leq b \leq c \leq d</math>, llavors hi han exactament 54 opcions possibles per ''a'', ''b'', ''c'', i ''d'', tal que l'equació és soluble en nombres enters <math>x_1, x_2, x_3, x_4</math> per a tota ''n''. De fet, Ramanujan va catalogar una 55ena possibilitat <math>a=1</math>, <math>b=2</math>, <math>c=5</math>, <math>d=5</math>, però en aquest cas l'equació no és resoluble si <math>n=15</math>.
(Ramanujan va catalogar una 55 possibilitat a=1, b=2, c=5, d=5, però en aquest cas (*) no es possible si n=15)
 
[[Categoria: Aritmètica]]
10.659

modificacions