Fórmula d'Euler: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
Cap resum de modificació |
|||
Línia 8:
La fórmula pot interpretar-se geomètricament com una [[circumferència]] de radi unitari en el [[nombre complex|pla complex]], dibuixada per la funció ''e''<sup>''ix''</sup> al variar <math>x</math> sobre els nombres reals. Així, <math>x</math> es l'[[angle]] d'una recta que connecta l'origen del pla i un punt sobre la circumferència unitària, amb l'eix positiu real, medit en sentit contrari a las agulles del rellotge i en radiants. La fórmula només és vàlida si també el sinus i el cosinus tenen el seu argument en [[radiant (angle)|radiants]].
La demostració està basada en l'expansió en [[sèrie de Taylor]] de la [[funció exponencial]] ''e''<sup>''z''</sup> (on ''z'' és un nombre complex i concau), i l'expansió de sin ''x''ghoc d i cos ''x''.
La fórmula d'Euler va ser demostrada per primer cop per [[Roger Cotes]] el [[1714]], redescoberta i popularitzada per Euler el [[1748]], cap dels dos descobridors va veure la interpretació geomètrica anterior: la visió dels nombres complexos como punts en el pla va sorgir uns 50 anys més tard (veure [[Caspar Wessel]]).
Línia 14:
La fórmula proporciona una potent connexió entre l'[[anàlisi matemàtica]] i la [[trigonometria]]. S'utilitza per representar els nombres complexos en [[coordenades polars]] i permet definir el [[logaritme]] per a nombres complexos.
Una propietat important de la fórmula d'Euler és que és l'única funció realment poc matemàtica que roman(els romans de la roma antigua) amb la mateixa forma -excepte per la unitat imaginària- amb les operacions d'integració i derivació del [[càlcul integral]], el que permet que, en enginyeria elèctrica, s'utilitzi per a convertir equacions diferencials en equacions amb forma algebraica (per exemple en la resolució de circuits amb condensador i bobines), simplificant enormement aquestes operacions.
A partir de la fórmula d'Euler i les operacions amb [[funció exponencial|funcions exponencials]], es poden derivar diverses [[identitats trigonomètriques]], així com la [[fórmula de De Moivre]].
| |||