Esfera: diferència entre les revisions

Contingut suprimit Contingut afegit
m Bot: Traient 69 enllaços interwiki, ara proporcionats per Wikidata a d:q12507
Cap resum de modificació
Línia 1:
[[Fitxer:Sphere.jpg|thumb|Una esfera]]
Una '''esfera''' (del grec σφαῖρα, «sfaira») és la [[superfície]] formada per tots els punts de l'[[espai]] tals que la distància (anomenada ''radi'') a un punt determinat (anomenat ''[[Centre (Geometria)|centre]]'') és sempre la mateixa, formant una estructura en tres dimensions. També es refereix al [[sòlid]] amb el seu volum contingut dins de la superfície anterior, amb aquest significat específic es fa servir la paraula ''bola''.
 
== Equació ==
 
En un sistema de coordenades ortogonal i unitari, l'equació de l'esfera unitària centrada a l'origen de coordenades és:
x² + y² + z² = 1
 
Aquesta equació s'obté considerant el punt M(x,y,z) de l'esfera i considerant el modul del vector '''OM''' és igual a 1.
 
Més generalment l'esfera de radi '''r''', de centre '''Ω(a, b, c)''' té com equació:
(x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = r²
 
L'equaciódel pla tangent al punt M(x',y',z') s'obté mitjançant el ''desdoblament de les variables'': en el cas de l'esfera unitària:
x·x' + y·y' + z·z' = 1
 
I al segón exemple:
(x - a)·(x' - a) + (y - b)·(y' - b) + (z - c)·(z' - c) = r²
 
== Superfície i volum ==
 
La superfície d'una esfera de radi ''r'' és:
&nbsp;&nbsp;<math>\!S = 4\pi r^2</math>
 
El volum d'una esfera de radi ''r'' és:
&nbsp;&nbsp;<math>V = \frac {4\cdot \pi \cdot r^3} 3</math>
Si es considera la superfície i el volum com funcions S(r) i V(r) del radi, llavors es nota que la superfície és la [[derivada|funció derivada]] del volum. Aquest fet no és casualitat, ja que es pot descompondre el volum en capes de gruix arbitràriament petit '''dr''' (diferencial de r), i els volums d'aquestes capes s'aproximen a '''S(r)·dr''' quan '''dr''' tendeix a 0. Sumant els volums infinitesimals de totes aquestes capes (en quantitat infinita) quan el radi ''r'' via de zero a ''R'' dóna per definició la integral següent:
<math>V(R) = \int_0^R S(r)dr</math>
 
== Zona i segment esfèrics ==
 
Una '''zona esfèrica''' és la part de la superfície esfèrica delimitada per dos plans paral·lels que tallen l'esfera, formant dos cercles anomenats ''bases''. L'àrea de la zona esfèrica, d'una esfera de radi ''r'', delimitada per dues bases separades per una altura ''h'' és:
 
A = 2 · π · r · h
 
Un '''segment esfèric''' és el sòlid delimitat per una zona esfèrica i els dos plans paral·lels que el delimiten. El volum del segment esfèric, d'una esfera de radi ''r'', delimitat per dues bases, de radis ''a'' i ''b'' respectivament, separades per una altura ''h'' és:
 
V = 1/6 · π · h · (h<sup>2</sup> + 3·a<sup>2</sup> + 3·b<sup>2</sup>)
 
Com a cas especial de zona esfèrica, un '''casquet esfèric''' és una zona esfèrica delimitada per un sol pla que talla l'esfera (un dels dos plans anteriors seria tangent, o amb una base de radi 0). En aquest cas, l'àrea del casquet és calcula com per a un segment de dos bases, i el volum del casquet seria simplement:
 
V = 1/6 · π · h · (h<sup>2</sup> + 3·a<sup>2</sup>)
 
Un '''segment esfèric''' és el sòlid delimitat per una zona esfèrica i els dos plans paral·lels que el delim
Un '''hemisferi''' és un casquet esfèric delimitat per un sol pla que passa per un [[cercle màxim]] de l'esfera.