Espai complet: diferència entre les revisions

55 octets eliminats ,  fa 9 anys
m
cap resum d'edició
m (Bot: Traient 21 enllaços interwiki, ara proporcionats per Wikidata a d:q848569)
mCap resum de modificació
Dins l'entorn de l'[[anàlisi matemàtica]] un [[espai mètric]] <math> (X, d) </math> es diu que és ''' complet ''' si tota [[successió de Cauchy]] [[convergència|convergeix]], és a dir, hi ha un element de l'espai que és el [[Límit d'una successió|límit]] de la successió.
 
La idea intuïtiva d'aquest concepte és que no hi ha res "enganxat" a <math> X </math> i que no estigui en <math> (X, d) </math>. Així, per exemple, la recta real és un espai complet, però si li trec un punt, deixa de ser-ho. De la mateixa manera, tot [[interval (matemàtiques)|interval]] tancat en els reals és complet, però tot interval acotat i obert o semi-obert no ho és. Per exemple, l'interval <math> (0,1) </math> no és complet, ja que la successió <math> a_n =\frac{1}{n}</math> és clarament de Cauchy, però no convergeix, ja que el seu límit és zero, punt que "no existeix", ja que no està en el conjunt.
 
== Exemples ==
 
* El conjunt dels [[Nombre racional|nombres racionals]], <math>\mathbb{Q}</math>, amb el valor absolut com a distància (d (x, y) = abs (xy))) no és complet donat que existeixen successions de nombres racionals que convergeixen a [[nombres irracionals]]. A causa de la convergència (en els nombres reals), aquestes successions són de Cauchy, però el valor límit no és racional pel que no convergeixen en els nombres racionals.
 
* El conjunt dels [[nombres reals]], <math>\mathbb{R}</math>, és complet amb la mètrica valor absolut.
 
* Si un [[espai normat]] és complet amb la distància induïda per la seva norma, es diu [[espai de Banach]]. Si a més la norma està induïda per un [[producte escalar]], es diu que es tracta d'un [[espai de Hilbert]].
 
== Alguns resultats ==
 
* En un espai mètric tota successió convergent és de [[successió de Cauchy|Cauchy]].
* Sigui (X, d) un espai mètric complet i sigui I un subconjunt no buit de X. Llavors (I, d) és complet si i només si I és un [[conjunt tancat]] a (X, d).
* [[Teorema del punt fix de Banach]] o Teorema de l'Aplicació contractiva. Sigui X un espai mètric complet, i sigui: f: X en X una [[aplicació contractiva]]. Llavors, hi ha un únic punt p de X tal que f (p) = p.
 
{{ORDENA:Espai Complet}} <!--ORDENA generat per bot-->
 
{{ORDENA:Espai Complet}} <!--ORDENA generat per bot-->
[[Categoria: Topologia]]
[[Categoria: Anàlisi funcional]]
238.281

modificacions