Diferència entre revisions de la pàgina «Equació diferencial lineal»

m
Bot: corregint els apòstrofs (1), pronoms (1) i puntuació (8)
m (Bot: Traient 17 enllaços interwiki, ara proporcionats per Wikidata a d:q1129902)
m (Bot: corregint els apòstrofs (1), pronoms (1) i puntuació (8))
A_{n-1}(t)\frac{dy}{dt} + A_n(t)y \,</math>
 
La condició de linealitat de ''L'' exclou operacions com el quadrat de la [[derivada]] de ''y''; però admet, per exemple, la [[derivada segona]] de ''y'' .
És convenient reescriure aquesta equació en forma d'operador
 
: <math> L_n(y) \equiv \left[\,D^n + A_{1}(t)D^{n-1} + \cdots + A_{n-1}(t) D + A_n(t)\right] y</math>
 
on ''D'' és l'operador diferencial ''d/dt'' (és a dir ''Dy = y'', ''D'' <sup>2</sup>''y = y"... '' ), i ''A<sub>n</sub>'' són funcions donades.
<!-- i el terme independent es considera que és una funció del temps ƒ(''t'') .-->
 
:<math> \frac{dN}{dt} = -k N\,</math>
 
Si ''y'' és se suposa que és una funció de només una variable, es parla de d'una [[equació diferencial ordinària]], si les derivades i els seus coeficients s'entenen com ([[Contracció tensorial|contrets]]) vectors, matrius o [[tensor|tensors]] de rang superior, es té una [[equació diferencial en derivades parcials]] (lineal).
 
El cas on ƒ = 0 s'anomena una '''equació homogènia''' i les seves solucions s'anomenen '''funcions complementàries'''. És especialment important per la solució del cas general, ja que qualsevol funció complementària es pot afegir a una solució de l'equació no homogènia per donar una altra solució (per un mètode tradicionalment anomenat ''integral particular i funció complementària'' ). Quan els ''A<sub>i</sub>'' són nombres, l'equació es diu que té ''[[coeficients constants]]'' .
 
== Equacions homogènies amb coeficients constants ==
|}
 
El precedent dona una solució per al cas en que tots els zeros són diferents, és a dir, cada un té [[Multiplicitat d'una arrel d'un polinomi|multiplicitat]] 1. Per al cas general, si ''z'' és un [[arrel d'una funció|zero]] (o arrel) (possiblement complexa) de ''F''(''z'') i té multiplicitat ''m'', llavors, per <math>k\in\{0,1,\dots,m-1\} \,</math>, <math>y=x^ke^{zx} \,</math> és una solució de l'EDO. Aplicant això a totes les arrels dóna una col·lecció de ''n'' funcions diferents i linealment independents, on ''n'' és el grau de ''F'' (''z'') . Com abans, aquestes funcions constitueixen una base de l'espai solució.
 
Si els coeficients ''A<sub>i</sub>'' de l'equació diferencial són reals, llavors en general les solucions reals són preferibles. Com que les arrels no reals ''z'' venir en parelles de complexos [[conjugat]]s, també les seves funcions base corresponents {{nowrap|''x''<sup>''k''</sup>e<sup>''zx''</sup>}}, i el resultat desitjat s'obté canviant cada parell per la [[combinació lineal]] dels valors reals de la seva [[part real]] la seva [[part imaginaria]].
:<math> y_1 = A_1 e^{-\omega x - \sqrt{\omega^2 - \omega_0^2} x} = A_1 e^{-\omega x} e^{-\sqrt{\omega^2 - \omega_0^2} x} </math>
 
on ω; = ''b'' / 2 ''m'' . A partir d'aquest parell linealment independent de solucions es pot construir un altre parell linealment independent que serveixen com a base per l'espai de solució bidimensional:
 
:<math> y_H (A_0, A_1) (x) = \left(A_0 \sinh \sqrt{\omega^2 - \omega_0^2} x + A_1 \cosh \sqrt{\omega^2 - \omega_0^2} x\right) e^{-\omega x}. </math>
:<math>P(v)=v^n+A_1v^{n-1}+\cdots+A_n.</math>
 
Es troba la solució base <math>\{y_1(x),y_2(x),\ldots,y_n(x)\}</math> com en e cas homogeni (''f(x)=0''). Ara esse cerca una '''solució particular''' ''y<sub>p</sub>(x)'' pel mètode de '''variació dels paràmetres'''. Siguin els coeficients de la combinació lineal de funcions de ''x'':
 
:<math>y_p(x) = u_1(x) y_1(x) + u_2(x) y_2(x) + \cdots + u_n(x) y_n(x).</math>
 
Per a la facilitat de notació es treu la dependència de ''x'' (és a dir les diverses ''(x)'' ). Fent servir la notació "operador" <math>D=d/dx</math>, l'EDO en qüestió és <math>P(D)y=f</math>; així
 
:<math>f=P(D)y_p=P(D)(u_1y_1)+P(D)(u_2y_2)+\cdots+P(D)(u_ny_n).</math>
La resta és qüestió d'integrar <math>u'_j.</math>
 
La solució particular no és única; <Math>y_p+c_1y_1+\cdots+c_ny_n</math> també satisfà l'EDO per a qualsevol conjunt de constants ''c<sub>j</sub>'' .
 
 
24.359

modificacions