Diferència entre revisions de la pàgina «Espai vectorial quocient»

m
Bot: corregint puntuació (6)
m (Bot: Traient 8 enllaços interwiki, ara proporcionats per Wikidata a d:q1393796)
m (Bot: corregint puntuació (6))
Sia ''X'' = ℝ<sup>2</sup> el pla cartesià estàndard, i sia ''Y'' una línia que passa per l'origen de ''X''. Llavors l'espai quocient ''X''/''Y'' es pot identificar amb l'espai de totes les línies en ''X'' que són paral·leles a ''Y''. És a dir que, els elements del conjunt ''X''/''Y'' són línies en ''X'' paral·leles a ''Y''. Això dóna una via per visualitzar espais quocient geomètricament.
 
Un altre exemple és el quocient de ℝ<sup>''n''</sup> pel subespai generat pels ''m'' primers vectors de base estàndard. L'espai ℝ<sup>''n''</sup> consisteix en totes les [[n-pla|''n''-ples]] de nombres reals (''x''<sub>1</sub>, ... ,''x''<sub>''n''</sub>). El subespai, identificat amb ℝ<sup>''m''</sup>, consta de totes les ''n''-ples tals que només les primeres ''m'' components són diferents de zero: (''x''<sub>1</sub>, ... ,''x''<sub>''m''</sub>,0,0, ... ,0). Dos vectors de ℝ<sup>''n''</sup> pertanyen a la mateixa classe d'equivalència mòdul el subespai si i només si són idèntics en les últimes ''n''−''m'' coordenades. L'espai quocient ℝ<sup>''n''</sup>/ℝ<sup>''m'' </sup> és [[isomorfisme|isomorf]] a ℝ<sup>''n'' −''m''</sup> de forma òbvia.
 
Més generalment, si ''V'' és una [[suma directa]] (interna) de subespais ''U'' i ''W'':
:<math>\operatorname{codim}(U) = \dim(V/U) = \dim(V) - \dim(U).</math>
 
Sia ''T'' : ''V'' → ''W'' un [[operador lineal]]. El [[nucli (matemàtiques)|nucli]] de ''T'', notat ker(''T''), és el conjunt de tot ''x'' ∈ ''V'' tal que ''T''(''x'') = 0. El nucli és un subespai de ''V'' . El [[primer teorema d'isomorfisme]] d'àlgebra lineal diu que l'espai quocient ''V''/ker(''T'') és isomorf a la [[recorregut|imatge]] de ''V'' en ''W'' . Un corol·lari immediat, per a espais de dimensió finita, és el [[teorema del rang]]: la dimensió de ''V'' és igual a la dimensió del nucli de més la dimensió de la imatge (el ''rang'' de ''T'' ).
 
El [[conucli]] d'un operador lineal ''T'': ''V'' → ''W'' es defineix com l'espai quocient ''W''/im(''T'').
24.359

modificacions