Geometria hiperbòlica: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m Robot afegint {{Commonscat}} que enllaça commons:category:Hyperbolic geometry |
m Bot: corregint pronoms (1) i puntuació (3) |
||
Línia 1:
La ''' geometria hiperbòlica ''' (o '''Lobatxevskiana ''') és un model de geometria que satisfà només els quatre primers postulats de la [[geometria euclidiana]]. Encara que és similar en molts aspectes i molts dels teoremes de la geometria euclidiana continuen sent vàlids en geometria hiperbòlica, no
* La ''' geometria euclidiana ''' satisfà els cinc postulats d'Euclides i té curvatura zero.
* La ''' geometria hiperbòlica ''' satisfà només els quatre primers postulats d'Euclides i té curvatura negativa.
Línia 12:
: <math> C \; </math> és una constant de proporcionalitat positiva relacionada amb la curvatura constant de l'espai hiperbòlic en què es troba immers el triangle.
Més endavant [[Carl Friedrich Gauss]] va treballar en un model similar però no va publicar els seus resultats. A la [[dècada del 1820]] dos joves matemàtics que treballaven de manera independent, [[János Bolyai]] i [[Nikolai Ivànovitx Lobatxevski]], van publicar els seus models pels quals establien la possibilitat d'un tipus de geometria alternativa, totalment consistent
== Introducció ==
Línia 19:
[[fitxer: Hyperbolic.jpg|frame|right|Rectes que passen per P i són hiperparal·leles a R]]
[[fitxer: Hyperbolic triangle.svg|263px|thumb|right|Un triangle en un pla amb forma d'una cadira de muntar (un [[paraboloide hiperbòlic]]), així com dues rectes paral·leles divergents.]]
El [[axioma de Bolyai]], equivalent al [[cinquè postulat d'Euclides]] sobre les rectes paral·leles diu que «'' donada una recta '' r '' i un punt '' P '' extern a ella, hi ha una i només una recta que passa per '' P '' que no interseca a 'r ''''
En geometria hiperbòlica, aquest postulat és fals perquè sempre hi ha almenys dues rectes diferents que passen per P i les quals no s'intersequen a r. De fet per la geometria hiperbòlica és possible demostrar una interessant propietat: hi ha dues classes de rectes que no s'intersequen a la recta r. Sigui B un punt que pertany a r tal que la recta PB és perpendicular a r. Penseu en la recta l que passa per P, tal que l no interseca a r i l'angle theta entre PB i l (en sentit contrari a les agulles del rellotge, des PB) és el més petit possible (és a dir, qualsevol angle més petit que theta, forçarà a la recta a intersecar ar). Aquesta (l), és anomenada ''' [[recta hiperparalel·la]] ''' (o simplement, recta paral·lela) en la geometria hiperbòlica.
En forma similar, la recta m que forma el mateix angle theta entre PB i ella mateixa, però ara en sentit de les agulles del rellotge des de PB, també serà hiperparalel·la, però no poden haver altres. Totes les altres rectes que passen per P i que no s'intersequen a r, i formen angle més gran que theta amb PB i són anomenades ''' rectes ultraparal·leles ''' (o ''' rectes disjuntes paral·leles '''). Recordeu que, en haver un nombre infinit d'àngles possibles entre θ i 90 º, cadascun d'aquests determinarà dues rectes que passen per P i que són disjuntes paral·leles a r, tindrem llavors, un nombre infinit de rectes ultraparal·leles. Per tant, tenim aquesta forma modificada del Postulat de les Rectes Paralel·les: «'' En geometria hiperbòlica, donada una recta '' r '' i un punt '' P '' exterior a '' r '' hi ha exactament dues rectes que passen per '' P '', les quals són hiperparal·leles a '' r '', i infinites rectes que passen per '' P '' i són ultraparal·leles a '' r '''
Les diferències entre rectes hiperparal·leles i ultraparal·leles, també poden ser vistes de la següent manera: la distància entre rectes hiperparal·leles tendeix a zero mentre un s'allunya infinitament de PB per la recta R. No obstant això, la distància entre rectes ultraparal·leles no tendeix a zero si un s'allunya infinitament de PB per la recta r. L'angle de paral·lelisme en la geometria euclidiana és una constant, és a dir, qualsevol longitud BP, determinarà un angle de paral·lelisme igual a 90 graus. A la geometria hiperbòlica, l'angle de paral·lelisme varia amb la qual és anomenada la funció Π (p). Aquesta funció, descrita per [[Nikolai Ivanovich Lobachevsky]], produeix un angle únic de paral·lelisme per a cada longitud donada BP. Mentre la longitud BP es faci més petita, l'angle de paral·lelisme s'acostarà a 90 º. Si la longitud BP s'incrementa sense límits, l'angle de paral·lelisme s'acostarà a zero. Recordeu que, a causa d'aquest fet, mentre les distàncies es facin més petites, el pla hiperbòlic es comportarà cada vegada més com la [[Geometria euclidiana]]. Per tant, a petites escales, un observador en el pla hiperbòlic tindrà dificultats per adonar-se que les distàncies no es troben en un pla euclidià.
| |||