Teoria de conjunts: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m →El problema de l'axioma d'elecció: neteja |
m →Aplicacions: desambiguació |
||
Línia 203:
Gairebé tots els conceptes matemàtics es defineixen avui en dia formalment en termes de conjunts i conceptes teòrics de teoria de conjunts. Per exemple, estructures matemàtiques tan diverses com [[graf]]s, [[varietat (matemàtiques)]]s, [[anell (matemàtiques)]]s, i [[espai vectorial|espais vectorials]] es defineixen completament com conjunts que tenen diverses propietats (axiomes). La [[relació d'equivalència]] i les [[relació d'ordre|relacions d'ordre]] són ubiqües en matemàtiques, i la teoria de [[relació (matemàtiques)|relacions]] es basa totalment en la teoria de conjunts.
La teoria de conjunt és també un sistema prometedor per fonamentar la majoria de les matemàtiques. Des de la publicació del primer volum de [[Principia Mathematica (Russell-Whitehead)|''Principia Mathematica'']], s'ha afirmat que molts o fins i tot tots els teoremes matemàtics es poden demostrar fent servir un conjunt dissenyat de manera adequada d'axiomes amb la teoria de conjunts, augmentada amb moltes definicions, fent servir [[lògica de primer|lògica de primer ordre]] o de [[lògica de segon ordre|segon ordre]]. Per exemple, les propietats dels [[nombres naturals]] i dels [[nombres reals]] es poden obtenir dins de teoria de conjunt, donat que cada sistema de nombres es pot identificar amb un conjunt de [[classe d'equivalència|classes d'equivalència]] sota una relació d'equivalència adequada el camp de la qual és algun [[conjunt infinit]].
La teoria de conjunts com a fonament per [[anàlisi matemàtica]], la [[topologia]], l'[[àlgebra abstracta]], i les [[matemàtiques discretes]] és de la mateixa manera incontrovertida; els matemàtics accepten que (en principi) els teoremes en aquestes àrees poden ser deduïts de les definicions pertinents i els axiomes de la teoria de conjunts. S'han verificat formalment poques deduccions completes de teoremes matemàtics complexos a partir de la teoria de conjunt, tanmateix, perquè tals deduccions formals són sovint molt més llargues que el llenguatge natural amb el que els matemàtics presenten habitualment les demostracions.
| |||