Mòdul: diferència entre les revisions

222 octets eliminats ,  fa 9 anys
m
 
* Si <math>A</math> és un anell, ell mateix es pot considerar com a <math>A</math>-mòdul de manera natural:
::<math>\begin{array}[c]{ccc}
{| style="width:100%" border="0" cellpadding="2"
A \times A & \longrightarrow & A \\
|-
|align="center"|<math>\begin{matrix} A \times A \longrightarrow A \\ (x, y) & \longmapsto & xy \end{matrix}\,</math>
\end{array}
|-
</math>
|}
 
* Els grups commutatius són <math>\mathbb{Z}</math>-mòduls. En efecte, si <math>G</math> és un grup commutatiu (notació aditiva) i <math>n \in \mathbb{Z}</math>, l'operació externa de <math>\mathbb{Z}</math> sobre <math>G</math> donada per:
::<math>\begin{array}[c]{ccc}
{| style="width:100%" border="0" cellpadding="2"
\mathbb{Z} \times G & \longrightarrow & G \\
|-
(n, g) & \longmapsto &
|align="center"|<math>\begin{matrix} \mathbb{Z} \times G \longrightarrow G \\ (n, g) \longmapsto
\begin{cases}
\overbrace{ g + g + \cdots + g }^{n}, \mbox{ si } n > 0 \\
-(\overbrace{ g + g + \cdots + g }^{-n}), \mbox{ si } n < 0
\end{cases}
\\
\end{matrix}\,</math>
\end{array}
|-
</math>
|}
:dota al grup <math>G</math> d'una estructura de <math>\mathbb{Z}</math>-mòdul.
 
* Els espais vectorials sobre un cos <math>K</math> són <math>K</math>-mòduls.
 
* Si <math>\operatorname{Hom}_{A}(E)</math> és l'anell d'[[endomorfisme]]s d'un <math>A</math>-mòdul <math>M</math>, l'operació externa
::<math>\begin{array}[c]{ccc}
{| style="width:100%" border="0" cellpadding="2"
|align="center"|<math>\begin{matrix} \operatorname{Hom}_{A}_A(E) \times M & \longrightarrow & M \\ (\varphi, x) \longmapsto
|-
(\varphi, x) & \longmapsto & \varphi(x) \\
|align="center"|<math>\begin{matrix} \operatorname{Hom}_{A}(E) \times M \longrightarrow M \\ (\varphi, x) \longmapsto
\end{array}
\varphi(x)
\end{matrix}\,</math>
:fa que <math>M</math> es pugui considerar un <math>\operatorname{Hom}_{A}(E)</math>-mòdul.
|-
|}
fa que <math>M</math> es pugui considerar un <math>\operatorname{Hom}_{A}(E)</math>-mòdul.
 
* Si <math>A</math> és un anell i <math>\mathfrak{a}\,</math> n'és un [[ideal]] (per l'esquerra), aleshores el propi <math>\mathfrak{a}\,</math>, amb l'operació
::<math>\begin{array}[c]{ccc}
{| style="width:100%" border="0" cellpadding="2"
|align="center"|<math>\begin{matrix} A \times \mathfrak{a} & \longrightarrow & \mathfrak{a} \\ (x, a) \longmapsto
|-
(x, a) & \longmapsto & xa \\
|align="center"|<math>\begin{matrix} A \times \mathfrak{a} \longrightarrow \mathfrak{a} \\ (x, a) \longmapsto
\end{array}
xa
\end{matrix}\,</math>
:és un <math>A</math>-mòdul (per l'esquerra), perquè, per a tot <math>a \in \mathfrak{a}</math> i tot <math>x \in A</math>, el producte <math>xa</math> pertany a <math>\mathfrak{a}\,</math>.
|-
|}
és un <math>A</math>-mòdul (per l'esquerra), perquè, per a tot <math>a \in \mathfrak{a}</math> i tot <math>x \in A</math>, el producte <math>xa</math> pertany a <math>\mathfrak{a}\,</math>.