Viquipèdia

Quadratura de Clenshaw-Curtis: diferència entre les revisions

Exploració interactiva de l'historial
← Edició anteriorEdició següent →
Contingut suprimit Contingut afegit
VisualWikitext
m Afegir el nombre d'operacions per calcular els pesos.
m Avanços en la traducció
Línia 1:
{{traducció|en|Clenshaw-Curtis quadrature|}}
 
La '''quadratura de Clenshaw–Curtis''' i la '''quadratura de Fejér''' són mètodes d'[[integració numèrica]] o quadratures, basades en l'expansió de l'integrant en termes dels [[polinomis de Txebixev]]. Un resum breu de l'algoritme és el següent: la [[funció]] <math>f(x)</math> que s'ha d'integrar és avaluada als <math>N</math> extrems o arrels dels polinomis de Txebixev i aquests valors es fan servir per construir una aproximació polinòmica de la funció; aquesta és integrada exactament per donar una aproximació de la integral exacta que busquem. El càlcul dels pesos d'integració es pot fer mitjançant una [[Transformada cosinus discreta|DCT]] (Discretemodificada Cosined'una Transform),manera quesimilar mitjançanta l'algoritmela [[Transformada Ràpida de Fourier|FFT]], esde manera que es poden obtenir amb <math> O(N· \log( N)) </math> operacions.
<!--▼
==General method==
 
==Mètode general==
A simple way of understanding the algorithm is to realize that Clenshaw–Curtis quadrature (proposed by those authors in 1960)<ref name=Clenshaw60>C. W. Clenshaw and A. R. Curtis "[http://www.digizeitschriften.de/resolveppn/GDZPPN001163442 A method for numerical integration on an automatic computer] ''Numerische Mathematik'' '''2''', 197 (1960).</ref> amounts to integrating via a [[change of variables|change of variable]] ''x'' = cos(θ). The algorithm is normally expressed for integration of a function ''f''(''x'') over the interval [-1,1] (any other interval can be obtained by appropriate rescaling). For this integral, we can write:▼
 
:<math>\int_{-1}^1 f(x)\, dx = \int_0^\pi f(\cos \theta) \sin(\theta)\, d\theta . </math>▼
 
That is, we have transformed the problem from integrating <math>f(x)</math> to one of integrating <math>f(\cos \theta) \sin \theta</math>. This can be performed if we know the [[cosine series]] for <math>f(\cos \theta)</math>:▼
 
:<math>f(\cos \theta) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^\infty a_k \cos (k\theta)</math>▼
 
in which case the integral becomes:
 
:<math>\int_0^\pi f(\cos \theta) \sin(\theta)\, d\theta = a_0 + \sum_{k=1}^\infty \frac{2 a_{2k}}{1 - (2k)^2} .</math>▼
 
▲AUna simplemanera waysenzilla ofd'entendre understandingl'algoritme theés algorithmadonar-se isque tola realizequadratura thatde Clenshaw–Curtis quadrature (proposedproposada byper thoseaquests authorsautors inel 1960)<ref name=Clenshaw60>C. W. Clenshaw and A. R. Curtis "[http://www.digizeitschriften.de/resolveppn/GDZPPN001163442 A method for numerical integration on an automatic computer] ''Numerische Mathematik'' '''2''', 197 (1960).</ref> amountsconsisteix toen integratingintegrar viamitjançant ael [[changeIntegració ofper variablescanvi de variable|changecanvi ofde variable]] ''<math> x'' = \cos(θ\theta) </math>. TheL'algoritme algorithmnormalment ises normallyfa expressedservir forper integrationintegrar ofuna afunció function ''<math>f''(''x'')</math> over theen l'interval <math>[-1,1]</math> (anyqualsevol otheraltre interval canes bepot obtainedescalar byper appropriateobtenir rescalingaquest). Per For thisaquesta integral, we can writeescrivim:
▲:{{equació|<math>\int_{-1}^1 f(x)\, dx = \int_0^\pi f(\cos \theta) \sin(\theta)\, d\theta . </math>}}
▲ThatÉs isa dir, weque havehem transformedtransformat theel problemproblema from integratingd'integrar <math>f(x)</math> toal one of integratingd'integrar <math>f(\cos \theta) \sin \theta</math>. Aquesta Thisúltima canes bepot performedrealitzar ifsi weconeixem knowl'expansió theen [[cosineSèrie de Fourier|sèrie de seriescosinus]] forde <math>f(\cos \theta)</math>:
▲:{{equació|<math>f(\cos \theta) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^\infty a_k \cos (k\theta)</math>}}
de manera que la integral esdevé:
▲:{{equació|<math>\int_0^\pi f(\cos \theta) \sin(\theta)\, d\theta = a_0 + \sum_{k=1}^\infty \frac{2 a_{2k}}{1 - (2k)^2} .</math>}}
▲<!--
Of course, in order to calculate the cosine series coefficients
:<math>a_k = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(\cos \theta) \cos(k \theta)\, d\theta</math>
Obtingut de «https://ca.wikipedia.org/wiki/Quadratura_de_Clenshaw-Curtis»