Revisió del 17:33, 17 jul 2007 modifica Jol (discussió \| contribucions) 1.160 edits m →‎Conjunts equipotents a un conjunt infinit: polint ← Edició anterior		Revisió del 17:53, 17 jul 2007 modifica desfés Jol (discussió \| contribucions) 1.160 edits polint Edició següent →
Línia 1: <!-- traduït dde l'ocoriginal occità: --> En la [[teoria dels conjunts]], es diu que dos [[conjunt]]s ''E'' i ''F'' són '''equipotents''' i es nota ''E'' ≈ ''F'', si existeix una [[bijecció]] <math>f : E \to F</math>. Per definició, dos conjunts (finits o no) tenen la mateixa [[Nombre cardinal\|cardinalitat]] -el mateix nombre d'elements-, si són equipotents.▼ <!-- http://oc.wikipedia.org/wiki/Equipoténcia --> ▲En la [[teoria dels conjunts]], es diu que dos [[conjunt]]s ''E'' i ''F'' són '''equipotents''', i es nota ''E'' ≈ ''F'', si existeix una [[bijecció]] <math>f : E \to F</math>. ~~Per definició, dos conjunts (finits o no) tenen la mateixa [[Nombre cardinal\|cardinalitat]] -el mateix nombre d'elements-, si són equipotents.~~ Per definició, dos conjunts (finits o no) tenen la mateixa [[Nombre cardinal\|cardinalitat]] (el mateix nombre d'elements) si són equipotents. ==Proprietats de l'equipotència== L'equipotència té les proprietats següentes: * És [[relació binària#Reflexivitat\|reflexiva]]: per a tot conjunt ''E'', ''E'' ≈ ''E'' (existeix almenys una bijecció de ''E'' vers ''E'' : l'[[aplicació (matemàtiques)#Aplicació idèntica d'un conjunt X\|aplicació idèntica]] de ''E'') * És [[relació binària#Simetria\|simètrica]]: essent dos conjunts ''E'' i ''F'', si ''E'' ≈ ''F'', aleshores ''F'' ≈ ''E'' (per hipotèsi, ~~existeix~~hi ha almenys una bijecció <math>f : E \to F</math> ; aleshores <math>f^{-1}</math> és una bijecció <math>F \to E</math>) * És [[relació binària#Transitivitat\|transitiva]] : essent tres conjunts ''E'', ''F'' i ''G'', si ''E'' ≈ ''F'' i ''F'' ≈ ''G'', aleshores ''E'' ≈ ''G'' (per hipotèsi, ~~existeix~~hi ha almenys una bijecció <math>f : E \to F</math> i una bijecció <math>g : F \to G</math> ; aleshores la composició <math>g \circ f : E \to G</math> es una bijecció) Açò prova que dins tot conjunt <math>\mathcal{E}</math> de conjunts, la [[relació binària]] d'equipotència és una [[relació d'equivalència]], i que el [[relació d'equivalència#Conjunt quocient\|conjunt quocient]] <math>\mathcal{E} / \approx\quad</math> pot ésser identificat al conjunt dels cardinals dels elements de <math>\mathcal{E}</math>. <br>Per exemple, si <math>\mathcal{E} = \mathcal{P}(\Omega)</math> és el [[conjunt#conjunt de les parts\|conjunt de les parts]] d'un conjunt <math>\Omega</math>, l'equipotència és una [[relació d'equivalència]] dins <math>\mathcal{E}</math>. ~~Però~~Tanmateix, no és possible de dir que l'equipotència es una relació d'equivalència dins e conjunt de tots els conjunts: dins la [[teoria clàssica dels conjunts]], el conjunt de tots els conjunts no existeix pas. ==Teorema de Cantor-Bernstein== El [[teorema de Cantor-Bernstein]] (o teorema de Cantor-Bernstein-Schröder) és una caracterització de l'equipotència. S'enuncia així: Essent dos conjunts ''E'' i ''F'', si existeixen dues [[injeccion (matematicas)\|injeccions]] <math>i : E \to F</math> ei <math>j : F \to E</math>, aleshores ''<math>E'' ≈\eq ''F''</math>. ==Exemples i contra-exemples== * El conjunt <math>\mathbb{N}</math> dels [[nombre natural\|enters naturals]] i el conjunt dels enters naturals parells, notat ací <math>\mathcal{P}</math>, són equipotents: l'aplicació <math>\mathbb{N} \to \mathcal{P},\, n \mapsto 2\, n</math> és bijectiva * Cas dels intervals del conjunt <math>\mathbb{R}</math> dels [[nombre real\|nombres reals]]. Sien dos reals ''<math>a''</math>, ''<math>b''</math> tals que <math>a < b</math>, i els intervals <br> <math>[a,\, b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x \leq b\}</math> , <math>\,]a,\, b[\, = \{x \in \mathbb{R} \mid a < x < b\}</math> * Els intervals <math>[a,\, b] </math> i <math>[0,\, 1]</math> són equipotents: l'aplicació <math>[a,\, b] \to [0,\, 1],\, x \mapsto \frac{x - a}{b - a}</math> és bijectiva. * ~~''Parierament''~~Anàlogament, els intervals <math>\,]a,\, b[\, </math> i <math>\,]0,\, 1[\,</math> són equipotents. Els intervals <math>\,]0,\, 1[\,</math> i <math>[0,\, 1]</math> són equipotents: * l'aplicació <math>i : \,]0,\, 1[\, \to [0,\, 1],\, x \mapsto x </math> és injectiva (en fet, és la [[injecció (matemàtiques)#Injecció canònica\|injecció canònica]]). * l'aplicació <math>j : [0,\, 1] \to \,]0,\, 1[\,,\, x \mapsto \frac{x + 1}{3} </math> és injectiva. * l'equipotència de <math>\,]0,\, 1[\,</math> i <math>[0,\, 1]</math> és, aleshores, conseqüència del teorema de Cantor-Bernstein. Els intervals <math>\mathbb{R} = \,]-\infty,\,+\infty[\,</math> i <math>\,]-1,\, +1[\,</math> són equipotents:<br> l'aplicació <math>\mathbb{R} \to \,]-1,\, +1[\,,\, x \mapsto \frac{x}{1 + \|x\|}</math> és bijectiva. ** En fet, es pot generalitzar açò: dos intervals de <math>\mathbb{R}</math> qualssevulla (posat que cada un contenga almenys dos punts) són equipotents. Linha 38 ⟶ 47: ==Cas dels conjunts finits i dels conjunts infinits== ===Conjunts equipotents a un conjunt finit=== Si ''E'' és un conjunt finit, els conjunts equipotents a ''E'' són aquells conjunts finits que tenen el mateix nombre d'elements que ''E''.

Equipotència: diferència entre les revisions