* ''Siguin ''a'' i ''b'' dos elements no nuls de ''A'' i ''v'' unsuna norma; si ''v''(''a ''.''b'') = ''v''(''a ''), llavors ''b'' és un element del [[agrupgrup de les unitats]].''
{{Caixa desplegable|títol=Demostració|contingut=
Es tracta altrealtra vegada de provar que tantant ''x'' com ''y'' són elements no nuls d'A, si ''x'' és divisor estricte de ''y'' (és a dir, si ''x'' divideix ''y'' sense ser-ne múltiple, en altres paraules si ''y'' és de la forma ''xz'' amb ''z'' no inversibleinvertible), llavors ''v''(''x'') < ''v''(''y'').
Existeixen q i r a A tals que
Línia 168:
<center><math>\forall (a,b)\in \mathbb A \times \mathbb A - \{ 0 \} \; ,\; \exists q,r\in A \quad / \quad a = b.q + r \quad amb \quad w(r) < w(b)</math></center>
Aquesta convenció no esse segueix en tots els casos. La norma disposa de propietats que superen sovint les de la divisió euclidiana. En el primer exemple sobre ''Z'', la norma disposa de propietats [[espai mètric|mètriques]], en el segon exemple la funció grau verifica una propietat útil: el grau del producte de dos polinomis és igual a la suma dels graus dels polinomis. Per no perdre aquesta propietat, les unitats de l'anell tenen una norma (grau) que s'escull igual a ''zero'' i el polinomi nul té per imatge (grau) menys infinit.
