|
#REDIRECT [[Desviació típica]]
{{millorar format|Categoria.}}
A la [[teoria de la probabilitat]] i l'[[estadística]], la
'''desviació estàndard''' d'una [[distribució de probabilitats]], [[variable aleatòria]], població o d'un conjunt de dades és una mesura de dispersió dels seus valors.
Quan es refereix a una distribució de probabilitats, variable aleatòria o població se sol anomenar '''desviació estàndard poblacional''' i se sol representar amb la lletra
<math> \sigma </math>.
Quan es refereix a un conjunt de dades se sol anomenar '''desviació estàndard mostral''' o '''estimador de la desviació estàndard''', ja que se sol emprar com a [[estimador estadístic|estimador]]
de la desviació estàndard poblacional.
La definició de la desviació estàndard poblacional
és única, però existeixen diverses fòrmules per calcular la desviació estàndard mostral.
En ambdos casos però, es calcula com l'[[arrel quadrada]] de la [[variància]].
Per entendre la intuició darrera la desviació estàndard, cal recordar que la
variància és l'[[esperança matemàtica]] de les diferències entre els valors de la variable aleatòria i la seva esperança matemàtica, elevades al quadrat.
És a dir, la variància està expresada en unitats al quadrat, i per tant la desviació estàndard
s'expresa en les mateixes unitats originals de mesura.
La desviació estàndard és la mesura de [[dispersió estadística]] més comú.
Si la variable aleatòria tendeix a prendre valors a prop de la seva esperança matemàtica,
la desviació estàndard és reduïda. Si, pel contrari, pren valors lluny de
l'esperança, la desviació estàndard pren valors elevats.
==Definició==
===Desviació estàndard poblacional===
La desviació estàndard d'una [[variable aleatòria]] ''X'' es defineix com:
:<math>\sigma = \sqrt{\operatorname{E}((X-\operatorname{E}(X))^2)} </math> <math>= \sqrt{\operatorname{E}(X^2) - (\operatorname{E}(X))^2}</math>
on E(''X'') és l'[[esperança matemàtica]] de ''X''.
No totes les variables aleatòries tenen desviació estàndard, doncs aquesta esperança
matemàtica pot no existir. Per exemple, la desviació estàndard d'una variable
aleatòria distribuïda d'acord amb la [[distribució de Cauchy]] is undefined.
=== Desviació estàndard mostral ===
Suposem que <math>x_1 \ldots x_n </math> són els valors observats de la variable aleatòria X.
La fòrmula més comú per a calcular la desviació estàndard mostral és:
:<math>S= \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{X})^2} </math>
on <math> \bar{X} </math> és la [[mitjana mostral]].
Aquest estimador de <math> \sigma </math>
és no [[biax estadístic|esbiaxat]], és a dir, l'esperança matemàtica de
S és <math> \sigma </math>.
Una altra fòrmula emprada amb menys freqüència ve donada per l'[[estimador màxim-versemblant]]
de <math> \sigma </math>:
:<math>S= \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{X})^2} </math>.
És immediat demostrar que el valor esperat d'aquest altre estimador
és <math> \sqrt{\frac{n-1}{n}} \sigma </math>, i que per tant és esbiaixat.
| 