Viquipèdia

Fórmula d'Heró: diferència entre les revisions

Exploració interactiva de l'historial
← Edició anteriorEdició següent →
Contingut suprimit Contingut afegit
VisualWikitext
m Substituint plantilles de ref redirigides
Elimino algunes poques faltes i milloro el text.
Línia 1:
[[Fitxer:Triangle with notations 2.svg|thumb|198px|Un triangle amb costats ''a'', ''b'', i ''c''.]]
En [[geometria]], La '''fórmula d'Heró''' diués queun mètode de calcular l'àrea del [[triangle]] a partir side les longituds dels costats. És d'ununa [[triangle]]gran sónutilitat ''a'',pràctica ''b'',quan ihi ''c''ha llavorselements físics que impedeixen de poder mesurar-ne l'[[àrea]]altura deli trianglenomés éstenim accés a mesurar-ne la llargada dels costats.
:<math>A = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}</math>▼
 
▲Si ''a'', ''b'' i ''c'' són les longituds dels costats, l'[[àrea]] del triangle serà:<math>A = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}</math>
on ''s'' és el [[semiperimetre]] del triangle:▼
 
▲on ''s'' és el [[semiperimetre]] del triangle:
 
:<math>s=\frac{a+b+c}{2}.</math>
 
La fórmula d'Heró també es pot escriure comaixí:
 
:<math>A={\ \sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\,}\ \over 4}</math>
Linha 19 ⟶ 20:
La fórmula s'atribueix a [[Heró d'Alexandria]], i se'n pot trobar una demostració al seu llibre, ''Mètrica'', escrit el {{mida|1=A.D.}} 60. S'ha suggerit que [[Arquimedes]] coneixia la fórmula, i com que ''Mètrica'' és una col·lecció del coneixement matemàtic disponible al món antic, és possible que la fórmula fos prèvia a la referència donada en el llibre.<ref>[http://mathworld.wolfram.com/HeronsFormula.html Heron's Formula - from Wolfram MathWorld<!-- Bot generated title -->]</ref>
 
Una fórmula equivalent a la d'Heró és aquesta:
 
:<math>A=\frac1{2}\sqrt{a^2 c^2 - \left( \frac{a^2+c^2-b^2}{2} \right)^2}</math>
 
vaVa ser descoberta pels [[Xina|xinesos]] independentment dels [[Grècia|grecs]]. Va ser publicada a ''Shushu Jiuzhang'' ("[[Tractat de Matemàtiques en Nou Seccions]]"), escrit per [[Qin Jiushao]] i publicat el {{mida|1=A.D.}} 1247.
 
== Demostració ==
 
Tot seguit es presenta unaLa demostració moderna, que fa servir l'[[àlgebra]] i la [[trigonometria]] i és força diferent de la que va donar Heró. Siguen ''a'', ''b'' i ''c'' els costats del triangle i ''A'', ''B'' i ''C'' els [[angle]]s oposats a aquests costats. Es té
:<math>\cos(C) = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}</math>
pel [[teorema del cosinus]]. A partir d'això, aplicant-hi la [[identitat trigonomètrica pitagòrica]], es té:tenim...
:<math>\sin(C) = \sqrt{1-\cos^2(C)} = \frac{\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2 }}{2ab}</math>.
L'[[altura (magnitud)|altura]] del triangle respecte de la base ''a'' té longitud ''b''sin(C), i d'aquí resulta
Linha 61 ⟶ 62:
== Demostració fent servir el teorema de Pitàgores ==
[[Fitxer:Triangle with notations 3.svg|thumb|270px|Triangle amb altura ''h'' que talla la base ''c'' en ''d''+(''c''−''d'').]]
La demostració original d'Heró fa servir [[quadrilàter cíclic|quadrilàters cíclics]], mentre que altres enfocaments usen la [[trigonometria]] com elen quela s'haprimera fet servir abansdemostració, o al l'[[incentre]] i un cercle tangent a un costat i la prolongació dels altres dos.<ref>{{citar web|url=http://www.math.dartmouth.edu/~doyle/docs/heron/heron.txt|títol=Demostracions de la fórmula d'Heró<!--Títol generat per bot-->}}</ref> L'argumentació que segueix redueix la fórmula d'Heró directament al [[teorema de Pitàgores]], fent servir només mitjans elementals.
 
Expressant l'equació de la forma <math>4A^2= 4s \left( s-a \right) (s-b)(s-c)</math> (s'han multiplicat per dos i elevat al quadrat els dos cantons),. LaEl partterme esquerraesquerre de la fórmula d'Heró és
:<math> \left( ch \right)^2</math> (donat que la base per l'altura és el doble de l'àrea), o
substituint <math>h^2=b^2-d^2</math> pel [[teorema de Pitàgores]],
:<math> \left( cb \right)^2-(cd)^2</math>
I alel cantóterme de la dretadret, tenint en compte que <math> \left( p+q \right)^2-(p-q)^2=4pq</math> queda
:<math>(s(s-a)+ \left( s-b \right) (s-c))^2</math> &nbsp; − &nbsp; <math>((s\left(s-a \right)-(s-b)(s-c))^2</math>
A partir d'aquí es pot demostrar que
:<math> cb=s \left( s-a \right)+(s-b)(s-c)</math>, i
:<math> cd = s \left(s-a \right)-(s-b)(s-c)</math>.
La primera s'obté immediatament a base de substituir <math> \left( a+b+c \right)/2</math> per <math>s</math> i simplificant. Fent el mateix a la segona es transforma en <math> \left( b^2+c^2-a^2 \right)/2</math>. A partir d'aquí, substituint <math>b^2</math> per <math>d^2+h^2</math> i <math>a^2</math> per <math>(c-d)^2+h^2</math>, tots dos per Pitàgores, i simplificant s'obté <math>cd</math> tal com calia.
 
== Estabilitat numèrica ==
 
La fórmula d'Heró tal com s'ha donat a dalt és [[Estabilitat numèrica|numèricament inestable]] per a triangles amb un angle molt petit.
Una alternativa estable<ref>{{format ref}} http://http.cs.berkeley.edu/~wkahan/Triangle.pdf</ref> implica reordenar les longituds dels costats de forma que:
''a'' ≥ ''b'' ≥ ''c''
Linha 82 ⟶ 83:
:<math> A = \frac{1}{4}\sqrt{(a+(b+c)) (c-(a-b)) (c+(a-b)) (a+(b-c))}.</math>
 
ElEls parèntesis de la fórmula sónnsón necessaris per tal de prevenir inestabilitat numèrica en l'avaluació.
 
== Generalitzacions ==
La fórmula d'Heró és un cas particular de la [[fórmula de Brahmagupta]] feraplicada al càlcul de l'àrea d'un [[quadrilàter cíclic]]; i totes dues són casos particulars de la [[fórmula de Bretschneider]] per a l'àrea d'un [[quadrilàter]]. En tots dos cassoscasos la fórmula d'Heró s'obté encom un cas particular en què la longitud d'un dels costats del quadrilàter és igual a zero.
 
La fórmula d'Heró també és un cas particular de la fórmula de l'àrea d'un [[trapezoide]] basada només en la longitud dels seus costats. La fórmula d'Heró s'obté en el cas particular en què el costat paral·lel més petit té longitud zero.
 
En [[trigonometria esfèrica]], existeix una fórmula anàloga a la fórmula d'Heró que permet deduirde calcular l'àrea d'un triangle esfèric a partir dels seus costats: ve donada pel [[teorema de l'Hulier]]. La fórmula d'Heró és un cas particular del teorema de l'Hulier quanen què el radi de l'[[esfera]] tendeix a [[infinit]] (i, per tant, la corbatura[[curvatura]] és [[zero]]).
 
Si s'expressa la fórmula d'Heró com un [[Determinant (matemàtiques)|determinant]] en termes dels quadrats de les distàncies entre els tres vèrtex donats, tindrem:
 
:<math> A = \frac{1}{4} \sqrt{ \begin{vmatrix}
Obtingut de «https://ca.wikipedia.org/wiki/Fórmula_d%27Heró»