Viquipèdia

Constants trigonomètriques exactes: diferència entre les revisions

Exploració interactiva de l'historial
← Edició anteriorEdició següent →
Contingut suprimit Contingut afegit
VisualWikitext
m Corregit: es -> és
m LanguageTool: correccions ortogràfiques i gramaticals
Línia 1:
 
[[Fitxer:Unit circle angles.svg|250px|thumb|Constants trigonomètriques exactes dels angles múltiples de 30 i de 45 graus representades en la [[circumferència goniomètrica]]]]
 
Les expressions per a les '''constants trigonomètriques exactes''' de vegades són útils, principalment per a simplificar altres expressions, transformant-les de manera que en comptes d'intervenir funcions trigonomètriques intervinguin radicals que després es poden simplificar.
 
Tots els valors de les funcions trigonomètriques d'angles múltiples de 3° es poden obtenir a partir de les [[llista d'identitats trigonomètriques|identitats trigonmètriquestrigonomètriques]] de l'angle meitat i de la suma i diferència d'angles, i dels valors de les funcions trigonomètriques dels angles de 0°, 30°, 36° i 45°. Fixeu-vos que 1° = π/180 [[radian]]s.
 
Aquest article és incomplertincomplet, pel capdavallalmenys en dos sentits. Primer, sempre es pot aplicar la fórmula de l'angle meitat per a trobar l'expressió de cosinus de la meitat de l'angle més petit de la taula. En segon lloc, aquest article només fa servir els dos primers dels cinc [[nombre de Fermat|nombres primers de Fermat]] coneguts: 3 i 5; i les funcions trigonomètriques d'altres angles, com ara 2π/7, 2π/9 (= 40°), i 2π/13 (així com altres polígons [[Nombre construïble|construïbles]], 2π/17, 2π/257, or 2π/65537) també són [[Teoria de Galois|resolubles per radicals]]. A la pràctica, tots els valors de les funcions trigonomètriques que no es troben en aquest article s'aproximen fent servir tècniques que es descriuen en l'article [[Construcció de les taules trigonomètriques]].
 
== Càlcul de les funcions dels angles de partida==
Tots els valors de les funcions trigonomètriques dels angles múltiples de 3º° es poden calcular a partir dels valors dels angles de 30,45 i 36 graus. Tot seguit s'explica com es calculen els valors de les constants trigonomètriques d'aquests angles de partida.
=== Angle de 30º° ===
[[Fitxer:Exagon inscrit en un cercle.PNG|300px|right|thumb|La corda(60°) = r/r = 1 ]]
 
====Mètode geomètric====
Observant l'hexàgon de la figura, l'angle que formen els dos radis és de 360º°/6=60º° i l'angle que formen els radis amb els costats és de 120º°/2=60º°, per tant el triangle format pels dos radis i el costat és equilàter. Llavors la [[corda (geometria)|corda]] de l'angle que formen els dos radis, és a dir la corda de 60º° és:
 
: <math>\text{crd}\left( 60^{{}^\circ } \right)=\frac{r}{r}=1</math>
 
Per tant el sinus de l'angle de 30º° ha de ser:
 
:<math>\sin \left( 30^{{}^\circ } \right)=\frac{1}{2}\text{crd}\left( 2\cdot 30^{{}^\circ } \right)=\frac{1}{2}</math>
Linha 43 ⟶ 44:
:<math>\sin \left( 30^{{}^\circ } \right)=\sqrt{1-\cos ^{2}\left( 30^{{}^\circ } \right)}=\sqrt{1-\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^{2}}=\sqrt{\frac{4-3}{4}}=\frac{1}{2}</math>
 
=== Angle de 45º°===
[[Fitxer:Quadrat inscrit en un cercle.PNG|300px|right|thumb|A partir del [[teorema de Pitàgores]] la corda(90°) = L/r = √2 ]]
 
====Mètode geomètric====
Observant el quadrat la figura, l'angle que formen els dos radis és de 90º°, per tant pel [[teorema de Pitàgores]] la longitud del costat ha de ser:
 
:<math>L=\sqrt{r^{2}+r^{2}}=r\sqrt{2}</math>
 
Llavors la [[corda (geometria)|corda]] de l'angle de 90º° resulta:
 
:<math>\text{crd}\left( 90^{{}^\circ } \right)=\frac{L}{r}=\frac{r\sqrt{2}}{r}=\sqrt{2}</math>
 
Per tant el sinus de 45º° és:
 
:<math>\sin \left( 45^{{}^\circ } \right)=\frac{1}{2}\text{crd}\left( 2\cdot 45^{{}^\circ } \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}</math>
Linha 64 ⟶ 65:
 
====Mètode algebraic====
Aplicant les identitats trigonomètriques de l'angle meitat a 90º°/2=45º° i tenint en compte que cos(90º°)=0, dona de forma immediata:
 
:<math>\begin{align}
Linha 71 ⟶ 72:
\end{align}</math>
 
===Angle de 36º°===
[[Fitxer:Ptolemy Pentagon.svg|300px|right|thumb|La corda(108°) = b/a = φ, a partir del [[teorema de Ptolemeu]] ]]
 
====Mètode geomètric====
 
Observant la figura l'angle DCB és un dels angles del [[Pentàgon (polígon)|pentàgon]] i per tant mesura 108º°, com que els costats CD i CB són iguals, aquest triangle és isòsceles i per tant la [[corda (geometria)|corda]] de l'angle de 108º° és:
 
:<math>\text{crd}(108^{{}^\circ })=\text{crd}(\angle D\text{CB})=\frac{b}{a}</math>
Linha 96 ⟶ 97:
:<math>\text{crd}(108^{{}^\circ })=\frac{1+\sqrt{5}}{2}</math>
 
Que és la [[secció àuria]]. Aplicant la fórmula que permet expressar la [[corda (geometria)|corda]] en funció del sinus, aplicant les [[llista d'identitats trigonomètriques|identitats trigonomètriques]] de reflexió i pitagòrica i operant, s'obtenen el sinus i el cosinus de l'angle de 36º°:
 
:<math>\begin{align}
Linha 129 ⟶ 130:
! Cosinus
|-
| 3º°
| (36-30)/2
| <math> \frac{ 2 (1 - \sqrt3) \sqrt{5 + \sqrt5} + \sqrt2 (\sqrt5 - 1) (\sqrt3 + 1) }{16}</math>
| <math> \frac{ 2 (1 + \sqrt3) \sqrt{5 + \sqrt5} + \sqrt2 (\sqrt5 - 1) (\sqrt3 - 1) }{16}</math>
|-
| 6º°
| 36-30
| <math> \frac{(\sqrt6) \sqrt{5 - \sqrt5} - (\sqrt5 + 1)}{8} </math>
| <math> \frac{(\sqrt2) \sqrt{5- \sqrt5} + \sqrt3( \sqrt5+1)}{8} </math>
|-
| 9º°
| (36/2)/2
| <math> \frac{\sqrt2(\sqrt5 + 1) - 2\sqrt{5 - \sqrt5}}{8}</math>
| <math> \frac{\sqrt2(\sqrt5 + 1) + 2\sqrt{5 - \sqrt5}}{8}</math>
|-
| 12º°
| 2*(36-30)
| <math> \frac{(\sqrt2) \sqrt{5 + \sqrt5} - \sqrt 3 (\sqrt 5 -1)}{8} </math>
| <math> \frac{(\sqrt6) \sqrt{5 + \sqrt5} + (\sqrt 5 - 1)}{8} </math>
|-
| 15º°
| 30/2
| <math> \frac{\sqrt 2 \left(\sqrt 3 - 1\right)}{4}</math>
| <math> \frac{\sqrt 2 \left(\sqrt 3 + 1\right)}{4}</math>
|-
| 18º°
| 36/2
| <math> \frac{\sqrt 5 - 1}{4} = \frac{\varphi - 1}{2} = \frac{1}{2\varphi} </math>
| <math> \frac{\sqrt{2(5 + \sqrt 5)}}{4}</math>
|-
| 20º°
| 60/3
| <math>2^{-\frac{4}{3}}(\sqrt[3]{i-\sqrt{3}}-\sqrt[3]{i+\sqrt{3}})</math>
| <math>2^{-\frac{4}{3}}(\sqrt[3]{1+i\sqrt{3}}+\sqrt[3]{1-i\sqrt{3}})</math>
|-
| 21º°
| 15+6
| <math> \frac{2(\sqrt 3 + 1) \sqrt{5 - \sqrt 5} - \sqrt 2 (\sqrt 3 - 1) (1 + \sqrt 5)} {16} </math>
| <math> \frac{2 (\sqrt 3 - 1) \sqrt{5 - \sqrt 5} + \sqrt 2 (\sqrt 3 + 1) (1 + \sqrt 5)} {16}</math>
|-
| 22,5º°
| 45/2
| <math> \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} </math>
| <math> \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} </math>
|-
| 24º°
| 2*12
| <math> \frac{\sqrt3(\sqrt5 + 1) - \sqrt2 \sqrt{5 - \sqrt5}}{8} </math>
| <math> \frac{\sqrt6 \sqrt{5 - \sqrt5} + \sqrt5 + 1}{8} </math>
|-
| 27º°
| 12+15
| <math> \frac{(\sqrt5 + 1 ) \sqrt{5 + \sqrt5} - \sqrt2(\sqrt5 - 1)}{8} </math>
| <math> \frac{(\sqrt5 + 1 ) \sqrt{5 + \sqrt5} + \sqrt2(\sqrt5 - 1)}{8} </math>
|-
| 30º°
| Hexàgon
| <math> \frac{1}{2}</math>
| <math> \frac{\sqrt 3}{2}</math>
|-
| 33º°
| 15+18
| <math> \frac{2(\sqrt 3 - 1) \sqrt{5 + \sqrt 5} + \sqrt 2 (1 + \sqrt 3) (\sqrt 5 - 1)} {16} </math>
| <math> \frac{2 (\sqrt 3 + 1) \sqrt{5 + \sqrt 5} + \sqrt 2 (1 - \sqrt 3) (\sqrt 5 - 1)} {16}</math>
|-
| 36º°
| Pentàgon
| <math> \frac{\sqrt{2(5 - \sqrt 5)} }{4}</math>
| <math> \frac{1+\sqrt 5}{4} = \frac{\varphi}{2}</math>
|-
| 39º°
| 15+24
| <math> \frac{2(1-\sqrt 3)\sqrt{5-\sqrt 5} + \sqrt 2 (\sqrt 3 + 1)(\sqrt 5 + 1)}{16}</math>
| <math> \frac{2 (1+\sqrt 3)\sqrt{5-\sqrt 5} + \sqrt2(\sqrt 3 - 1)(\sqrt 5 + 1)}{16}</math>
|-
| 42º°
| 18+24
| <math> \frac{ \sqrt6 \sqrt{5 + \sqrt5} - (\sqrt5 - 1)}{8} </math>
| <math> \frac{ \sqrt2 \sqrt{5 + \sqrt5} + \sqrt3(\sqrt5 - 1)}{8} </math>
|-
| 45º°
| Quadrat
| <math> \frac{\sqrt 2}{2}</math>
| <math> \frac{\sqrt 2}{2}</math>
|-
| 60º°
| Triangle
| <math> \frac{\sqrt 3}{2}</math>
Linha 228 ⟶ 229:
! Cotangent
|-
| 3º°
| <math> \frac{ \left( (2 - \sqrt3) (3 + \sqrt5) - 2 \right) \left(2 - \sqrt{2 (5 - \sqrt5)}\right) }{4}</math>
| <math> \frac{ \left( (2 + \sqrt3) (3 + \sqrt5) - 2 \right) \left(2 + \sqrt{2 (5 - \sqrt5)}\right) }{4}</math>
|-
| 6º°
| <math> \frac{(\sqrt2) \sqrt{5 - \sqrt5} - \sqrt3(\sqrt5 - 1)}{2} </math>
| <math> \frac{\sqrt3 (3 + \sqrt5) + \sqrt{50 + 22 \sqrt5}}{2} </math>
|-
| 9º°
| <math> \sqrt5 + 1 - \sqrt{5 + 2\sqrt5}</math>
| <math> \sqrt5 + 1 + \sqrt{5 + 2\sqrt5}</math>
|-
| 12º°
| <math> \frac{(\sqrt3) (3 - \sqrt5 ) - \sqrt{50 - 22 \sqrt5}}{2} </math>
| <math> \frac{\sqrt3 (\sqrt5 + 1) + \sqrt2 \sqrt{5 + \sqrt5}}{2} </math>
|-
| 15º°
| <math> 2 - \sqrt 3</math>
| <math> \cot 15^\circ = 2 + \sqrt 3</math>
|-
| 18º°
| <math> \frac{\sqrt{5(5 - 2 \sqrt 5)}}{5} </math>
| <math> \sqrt{5 + 2 \sqrt 5} </math>
|-
| 21º°
| <math> \frac{ \left(2 - (2 + \sqrt3) (3 - \sqrt5) \right) \left(2 - \sqrt{2 (5 + \sqrt5)}\right) }{4}</math>
| <math> \frac{ \left(2 - (2 - \sqrt3) (3 - \sqrt5) \right) \left(2 + \sqrt{2 (5 +\sqrt5)}\right) }{4}</math>
|-
| 22,5º°
| <math> \sqrt{2}-1 </math>
| <math> \sqrt{2}+1 </math>
|-
| 24º°
| <math> \frac{\sqrt{50 + 22 \sqrt5} - \sqrt3 (3 + \sqrt5)}{2} </math>
| <math> \frac{\sqrt2 \sqrt{5 - \sqrt5} + \sqrt3(\sqrt5 - 1)}{2} </math>
|-
| 27º°
| <math> \sqrt5 - 1 - \sqrt{5 - 2 \sqrt5} </math>
| <math> \sqrt5 - 1 + \sqrt{5 - 2 \sqrt5} </math>
|-
| 30º°
| <math> \frac{\sqrt 3}{3}</math>
| <math> \frac{3}{\sqrt 3} = \sqrt 3</math>
|-
| 33º°
| <math> \frac{ \left(2 - (2 - \sqrt3) (3 + \sqrt5) \right) \left(2 + \sqrt{2 (5 - \sqrt5)}\right) }{4}</math>
| <math> \frac{ \left(2 - (2 + \sqrt3) (3 + \sqrt5) \right) \left(2 - \sqrt{2 (5 - \sqrt5)}\right) }{4}</math>
|-
| 36º°
| <math> \sqrt{5 - 2\sqrt 5} </math>
| <math> \frac{ \sqrt{5(5 + 2\sqrt 5)}}{5} </math>
|-
| 39º°
| <math> \frac{ \left( (2 - \sqrt3) (3 - \sqrt5) - 2 \right) \left(2 - \sqrt{2 (5 + \sqrt5)}\right) }{4}</math>
| <math> \frac{ \left( (2 + \sqrt3) (3 - \sqrt5) - 2 \right) \left(2 + \sqrt{2 (5 + \sqrt5)}\right) }{4}</math>
|-
| 42º°
| <math> \frac{ \sqrt3(\sqrt5 + 1) - \sqrt2 \sqrt{5 + \sqrt5}}{2} </math>
| <math> \frac{ \sqrt{50 - 22 \sqrt5} + \sqrt3(3 - \sqrt5)}{2} </math>
|-
| 45º°
| <math> 1</math>
| <math> 1</math>
|-
| 60º°
| <math> \sqrt 3</math>
| <math> \frac{1}{\sqrt 3}</math>
Obtingut de «https://ca.wikipedia.org/wiki/Constants_trigonomètriques_exactes»