Equació d'ona: diferència entre les revisions

L'equació d'ona és l'exemple prototip d'una [[equació diferencial parcial hiperbòlica]]. En la seva forma més elemental, l'equació d'ona fa referència a ununa [[funció escalar]] ''ou(x,t)'' que satisfà:

: <math>{\partial^2 ou \over \partial t^2}= c^2 \Delta ou, </math>

On <math> \Delta = \nabla^2 </math> és el [[laplacià]] i on <math> c </math> és una constant equivalent a la velocitat de propagació de l'ona. Per a una ona sonora en l'aire a 20 °C, aquesta constant és de prop de 343 m/s (vegeu [[velocitat del so]]). Per a una [[corda vibrant]], la velocitat pot variar molt depenent de la densitat lineal de la corda i la seva tensió. Per a ununa ressortmolla d'espiral (un ''[[Slinkyslinky]]'') pot arribar a ser tan lentlenta com d'un metre per segon.

Un model més realista de l'equació diferencial per ones permet que la velocitat de propagació de l'ona variï amb la freqüència de l'ona, a aquest fenomen és conegut com a [[Dispersió (matemàtiques)|dispersió]]. En aquest cas, <math> c </math> haurà de ser substituïtsubstituïda per la [[velocitat de fase]]:

Una altra correcció comú sistemes realistes és que la velocitat pot dependre també de l'amplitud de l'ona, ella quequal cosa ens porta a una equació d'ona no lineal:

: <math>{\partial^2 ou \over \partial t^2}= c (u)^2 \Delta ou </math>

També cal considerar que una ona pot ser transmesa a un portador mòbil (Perper exemple la propagació del so en el flux d'un gas). En aquest cas l'escalar '' o u'' contindrà un [[Nombre Mach]] (el qualque és positiu per a la ona que es mogui al llarg del flux i negatiu per a l'ona reflectida).

L'equació d'ona elàstica en tres dimensions descriu la propagació d'ona en un medi [[elàstic]] [[homogeni]] [[Isotropia|isòtrop]]. La majoria dels materials sòlids són elàstics, de manera que aquesta equació descriu fenòmens com ara [[ones sísmiques]] a la [[Terra]] i les ones de d'[[ultrasò]] utilitzades per determinar defectes en els materials. Encara que sigui lineal, aquesta equació té una forma més complexa que les equacions donades a dalt, perquè ha de prendretenir en compte els moviments longitudinals i transversals:

: <math> \Rho{\ddot{\bold{ou}}}= \bold{f}+(\lambda+2 \mu) \nabla (\nabla \cdot \bold{ou}) - \mu \nabla \times (\nabla \times \bold{ou}) </math>

* I <math> \bold{ou}</math> és el desplaçament.

RecordeuCal recordar que en aquesta equació, la força i el desplaçament són quantitats [[Vector (física)|vectorials]]. Aquesta equació és coneguda de vegades comacom a l'equació d'ona [[Vector (física)|vectorial]].

Hi ha variacions de l'equació d'ona que també es poden trobar aen [[mecànica quàntica]] i [[relativitat general]].