Propietat commutativa: diferència entre les revisions

*Sigui <math>\star</math> una operació associativa en ''M''. Si ''x'' commuta amb ''y'' i amb ''z'', aleshores també commuta amb ''y''<math>\star</math>''z''.

 

{{AP|Centre (àlgebra)}}

Donat un conjunt ''M'' amb una operació interna, el '''[[Centre (àlgebra)|centre]]''' de ''M'' és el subconjunt format pels elements que commuten amb tots els altres; a vegades es representa per Z(''M''). Afirmar que l'operació és commutativa significa que el centre de ''M'' és tot ''M''.

El ''[[Commutador (matemàtiques)|commutador]]'' dóna una indicació de la mesura en què una certa operació binària no aconsegueix ser commutativa. Per a poder definir-lo, cal una certa estructura addicional, ja sigui que l'operació és la d'un grup, o bé que sigui la multiplicació en un anell o àlgebra.

 

En un [[grup (matemàtiques)|grup]], el '''commutador''' de dos elements ''x'' i ''y'' és l'element

:[''x'', ''y''] = ''x''⁻¹''y''⁻¹''xy''.

El conjunt dels commutadors d'un grup ''G'' no és en general un subgrup, però genera un subgrup normal anomenat ''subgrup dels commutadors'' o ''subgrup derivat''. El quocient ''G''/''D'' de ''G'' pel seu subgrup derivat és un grup commutatiu anomenat ''grup abelianitzat'' de ''G''; és el més gran dels quocients commutatius de&nbsp;''G''.

 

En un [[anell (matemàtiques)|anell]] o, més generalment, en una [[àlgebra sobre un cos|àlgebra]], el '''commutador''' de dos elements ''x'' i ''y'' és l'element

:[''x'',''y''] = ''xy'' − ''yx''.