Teoria de conjunts: diferència entre les revisions

Contingut suprimit Contingut afegit
m Corregit: formal -> formal, ja que, e
m Correcció tipogràfica: espai sobrant
Línia 193:
# [[Axioma d'aparellament]]: Si ''x'' i ''y'' són dos conjunts, llavors, existeix un conjunt que conté ''x'' i ''y'' i només ells com elements. Aquest conjunt es nota <math>{x,y}</math>. Cal observar que ''x'' i ''y'' no són necessàriament diferents. Aquest axioma és conseqüència de l'[[esquema de substitució]] però no de l'[[esquema de comprensió]], també se'l pot ometre en la teoria ZF però és indispensable en la teoria Z
# [[Axioma de reunió]]: Per a tot conjunt ''X'', existeix un conjunt ''R'' els elements del qual són precisament els elements dels elements de ''X'' i només ells.
# [[Axioma del conjunt de les parts]]: Per a tot conjunt ''E'', existeix un conjunt els elements del qual són precisament els subconjunts d{{' }}''E''. Aquest conjunt es nota habitualment <math>P(E)</math>.
# [[Axioma de l'infinit]]: Existeix un conjunt ''W'' tal que <math>\varnothing</math> és element seu i tal que per a tot ''x'' que pertany a ''W'', <math>x \cup \{x\}</math> pertany també a ''W''. Llavors es pot definir per comprensió la intersecció de tots els conjunts que contenen <math>\varnothing</math> i són tancats respecte d'aquesta operació: es tracta del conjunt dels nombres sencers tals com els defineix von Neumann.
# [[Esquema d'axiomes de comprensió]] o de separació: per a tot conjunt ''A'' i per a tota propietat ''P'' expressada en el llenguatge, existeix un conjunt els elements del qual són els elements d{{' }}''A'' que verifiquen ''P''. L'esquema de comprensió és conseqüència de l'esquema de substitució que segueix.
# [[Esquema d'axiomes de substitució]]: Per tot conjunt ''A'' i per tota relació funcional ''P'', formalment definida com una proposició <math>P(x,y)</math> tal que <math>P(x,y)</math> i <math>P(x,z)</math> impliquen que <math>y = z</math>, existeix un conjunt que conte precisament les imatges per ''P'' dels elements del conjunt d'origen ''A''.
# [[Axioma de regularitat]]: Tot conjunt ''X'' no buit conté un element ''y'' tal que ''X'' i ''y'' són conjunts disjunts (que no tenen cap element en comú), el que es nota <math>X \cap hi = \varnothing</math>. Aquest axioma sempre s'afegeix a Z o ZF. Es pot construir bastant fàcilment com a subclasse d'un model qualsevol de ZF, un model de ZF que verifica l'axioma de regularitat. Els conjunts útils pel desenvolupament de les matemàtiques usuals pertanyen a aquesta subclasse, i per tant té poca importància afegir o no aquest axioma a la teoria per a aquests desenvolupaments. L'axioma de regularitat per exemple no es menciona al llibre de Halmos,<ref name="halmos"/> l'objectiu del qual és de presentar els aspectes de la teoria dels conjunts útils per al matemàtic no especialista d'aquest àmbit. L'axioma de regularitat en canvi és molt útil en l'àmbit especialitzat de la teoria de conjunts, permet jerarquitzar l'univers de conjunts, definir un rang ordinal ... Per altra banda s'ahn desenvolupat teories dels conjunts, extensions de ZF sense regularitat, aquestes teories introdueixen un axioma d'antiregularitat (n'existeix diverses variants) que contradiu directament l'axioma de regularitat. L'antiregularitat és una idea bastant antiga (Dimitri Mirimanoff 1917, [[Paul Finsler]] 1926), però aquestes teories han conegut una recuperació d'interès per a la seva relació amb la [[informàtica teòrica]].<ref>voir le livre de Peter Aczel, ''Non-Well-Founded Sets'', CSLI Lecture Notes, Vol.14, CSLI Publications, Stanford, California, 1988.</ref>