Programa d'Erlangen: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m Corregit: moment en que > moment en què |
m Correcció tipogràfica: espais sobrants |
||
Línia 37:
El concepte de grup no és invenció de Klein, però és ell el que descobreix un fet fonamental que el relaciona amb les diferents geometries: cada geometria és l'estudi de certes propietats que no canvien quan se li apliquen un tipus de transformacions. Aquestes propietats, per no canviar, les denomina [[invariant]]s, i les transformacions que a un invariant no li fan canviar han de tenir estructura de grup sota l'operació de composició (compondre dues transformacions és fer una i aplicar-li l'altra transformació al resultat de la primera).
Així Klein descobreix que, per exemple, la geometria euclidiana és l'estudi dels invariants mitjançant el grup dels moviments rígids (com les simetries, girs i translacions), que la geometria afí és l'estudi dels invariants mitjançant el grup de les translacions
De fet, Klein afirma que la comprensió de "tenir una geometria, llavors hi ha un ''grup principal''" és més aviat al revés. Un a priori diu quin tipus de transformacions s'admetrà (és a dir, dóna el grup) i tota la resta es pot reconstruir a partir d'ell. Es demostra fins i tot, que si un dóna un subgrup de les bijeccions d'un conjunt en si mateix isomorf a algun grup clàssic (simetries, translacions, projectivitats) llavors tots els teoremes d'aquesta geometria són vàlids en aquest.
El descobriment de Klein és fonamental, ja que d'una banda ens permet classificar les geometries, comprenent quin és una "subgeometria" de qual, d'altra banda ens permet comprendre què és l'estudi general de la Geometria (com a disciplina matemàtica) i finalment
Noteu que és la primera vegada que una ciència (la geometria) és capaç d'autodefinir rigorosament i, per tant, constitueix un dels punts culminants de l'esperit humà en la història.
| |||