Sèrie de Fourier: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m ortografia |
m Correcció tipogràfica: espais sobrants |
||
Línia 30:
=== Forma general ===
Sigui ''f(x)'' una funció complexa ''f'' definida en el domini dels nombres reals, on t <math> f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}</math>
:<math>\int_{t_1}^{t_2} |f(t)|^2 dt<+\infty </math>
amb
Línia 116:
== Convergència de la Sèrie de Fourier ==
Sigui <math> f : \mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> contínua a trossos i periòdica de període ''T''
:<math> f(t)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[ a_n \cos (n\omega t) + b_n \sin (n\omega t)]</math>
on <math>\omega =\frac{2\pi}{T}</math> és la seva Sèrie de Fourier.
Línia 209:
Escrivint
:<math>c_0 = c_0 e^0 = \frac{1}{2}a_0</math>
separant els termes que tenen índex negatiu dels que tenen índex positiu i ordenant-los, la Sèrie de Fourier queda
Línia 216:
:<math>c_n= \frac{1}{T} \int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) e^{-j n \omega t}\, dt </math> per <math> n = 0,\pm 1,\pm 2,\ldots</math>
En canvi si el que tenim són els coeficients <math>c_n</math> de la notació complexa, aleshores els coeficients de Fourier <math>a_n</math> i <math>b_n</math>, les amplituds i les fases vénen donades per
:<math>a_n=2 \mbox{Re} (c_n), b_n= -2 \mbox{Im} (c_n)
Aleshores, veiem, que una funció periòdica és par quan els seus coeficients de Fourier complexos són reals i que és impar quan els seus coeficients complexos de Fourier són imaginaris purs.
Quan ''f(t)'' és un senyal periòdic de període fonamental ''T'', les components de la notació complexa es donen en freqüència <math>0, \pm \omega, \pm 2 \omega, \ldots</math>
| |||