Diferència entre revisions de la pàgina «Sistema de coordenades cartesianes»

m
Correcció tipogràfica: espais sobrants
m (Corregit: dit mig]] es > dit mitjà]] es)
m (Correcció tipogràfica: espais sobrants)
[[Fitxer:Cartesian coordinates 2D.svg|thumb|324px|Fig. 3 – Els quatre quadrants d'un sistema de coordenades cartesià. Les fletxes als eixos indiquen que s'estenen indefinidament en les seves respectives direccions (és a dir infinitament).]]
 
Un [[sistema de coordenades]] cartesianes de dues dimensions es defineix habitualment amb dos eixos perpendiculars entre si formant un pla (el pla ''xy''). L'eix [[pla horitzontal|horitzontal]] es diu normalment eix ''x'', i l'eix [[vertical]] s'anomena normalment eix ''y''. En un sistema de coordenades de tres dimensions, s'afegeix un altre eix , anomenat normalment eix ''z'', que subministra una tercera dimensió de mesura de l'espai. Els eixos normalment es defineixen de forma que siguin mútuament [[ortogonal]]s (formen un angle recte entre ells). (Els primers sistemes permetien eixos "oblics", és a dir, eixos que no es tallaven formant angles rectes, aquesta mena de sistemes encara es fan servir ocasionalment avui en dia, tot i que principalment com a exercicis teòrics.) Tots els punts d'un sistema de coordenades cartesianes considerats com a conjunt formen el '''pla cartesià'''. De les equacions que fan servir el sistema de coordenades cartesianes se'n diu '''equacions cartesianes'''.
 
Del punt d'intersecció, on es troben els eixos, se'n diu l'''origen'' normalment s'etiqueta amb una ''O''.
 
Tal que els eixos dels dos sistemes ('''x''', '''x´'''; y '''y''', '''y´''') són paral·lels dos a dos i les coordenades de '''O´''', respecte de '''S1''' són:
: <math> O^\prime = (x_{O^\prime} , \; y_{O^\prime}) </math>
Les coordenades de '''A''' en '''S2''' s'anomenaràn:
 
Operant
:<math> \overline{O^\prime A} = \overline{OA} - \overline{O O^\prime} </math>
:<math> (x^\prime_A ,\; y^\prime_A ) = (x_A ,\; y_A ) - (x_{O^\prime} , \; y_{O^\prime}) </math>
 
Per tant:
 
Es pren una base ortonormal:
: <math> B1 = \{ \vec{i} , \vec{j} \} </math>
 
Tal que en aquest sistema sigui <math>i = \left( {1,0} \right),j = \left( {0,1} \right)
 
Per a un segon sistema '''S2''' tal que està girat un angle <math>\alpha \, </math>, respecte del primer:
: <math> S2 = \{ O; \; x^\prime , y^\prime \} </math>
Com que la base ortonormal del primer sistema expresada en aquest segon es:
:<math>
\begin{array}{l}
i = \left( {\cos \alpha , - \sin \alpha } \right) \\
j = \left( {\sin \alpha ,\cos \alpha } \right) \\
\end{array}
</math>
El punt '''A''' és:
:<math> A = x_A \left( {\cos \alpha , - \sin \alpha } \right) + y_A \left( {\sin \alpha ,\cos \alpha } \right) </math>
I operant resulta:
:<math> A = \left( {x_A \cos \alpha + y_A \sin \alpha ,y_A \cos \alpha - x_A \sin \alpha } \right) </math>
1.125.525

modificacions