Diferència entre revisions de la pàgina «Distribució gamma»

afegit propietats i detalls varis
(afegit propietats i detalls varis)
També és possible obtenir estimadors Bayesians sense assumir que ''k''
és conegut, però en general no és possible obtenir-ne una expressió senzilla.
 
 
 
 
== Generant valors d'una distribució gamma ==
 
Tenint en compte la propietat d'escala esmentada anteriorment,
és suficient generar una variable gamma amb ''β'' = 1
i després transformar-la a qualsevol altre valor de ''β''
amb una simple divisió.
 
Emprant el fet que una distribució Γ(1, 1) és el mateix que una distribució exponencial Exp(1), i tenint en compte el mètode per generar [[distribució exponencial|variables aleatòries exponencials]],
arribem a la conclusió de que si ''U'' prové d'una [[distribució uniforme (contínua)|distribució uniforme]] en (0,&nbsp;1<nowiki>]</nowiki>,
aleshores -ln(''U'') segueix una &Gamma;(1, 1).
Emprant la propietat de que la suma de variables aleatòries gamma independents
segueix novament una distribució gamma, extenem el resultat:
 
:<math>\sum_{k=1}^n {-\ln U_k} \sim \Gamma(n, 1),</math>
 
on ''U<sub>k</sub>'' són uniformement distribuïdesen (0,&nbsp;1<nowiki>]</nowiki> i [[independència estadística|independents]].
 
Tanmateix aquesta estratègia només funciona si n és un nombre sencer.
Ara veurem com generar observacions d'una &Gamma;(&delta;, 1) per a 0 < &delta; < 1
ja que després podem aplicar la propietat de la suma per al cas 1 < &delta.
 
A continuació presenten un algoritme, sense demostració. Es tracta d'un cas particular del [[mètode d'acceptació-rebuig]]:
 
# Sigui ''m''= 1.
# Generar <math>V_{2m - 1}</math> i <math>V_{2m}</math> &mdash; independents i uniformement distribuïdes a (0,&nbsp;1<nowiki>]</nowiki>.
# Si <math>V_{2m - 1} \le v_0</math>, on <math>v_0 = \frac e {e + \delta}</math>, aleshores anar a 4, altrament anar a 5.
# Sigui <math>\xi_m = V_{2m - 1}^{1 / \delta}, \ \eta_m = V_{2m} \xi _m^ {\delta - 1}</math>. Anar a 6.
# Sigui <math>\xi_m = 1 - \ln {V_{2m - 1}}, \ \eta_m = V_{2m} e^{-\xi_m}</math>.
# Si <math>\eta_m > \xi_m^{\delta - 1} e^{-\xi_m}</math>, aleshores incrementar ''m'' i tornar a 2.
# Assumim que <math>\xi = \xi_m</math> és l'observació d'una <math>\Gamma (\delta, 1)</math>
Per resumir,
 
:<math> \theta \left( \xi - \sum _{i=1} ^{[k]} {\ln U_i} \right) \sim \Gamma (k, \theta),</math>
on
[''k''] és la part sencera de ''k'', i ''&xi;'' ha estat generat emprant l'algoritme que hem presentat &delta; = {''k''} (la part fraccional de ''k''),
''U<sub>k</sub>'' i ''V<sub>l</sub>'' segueixen la distribució explicada anteriorment i són independents.
 
La [http://www.gnu.org/software/gsl/ Llibreria científica GNU] disposa de
rutines robustes per a generar observacions de moltes distribucions,
incloent la distribució Gamma.
 
==Distribucions rel·lacionades==
=== Casos particulars ===
* Si <math>X \sim {\Gamma}(k=1, \theta=1/\lambda)\,</math>, aleshores ''X'' segueix una [[distribució exponencial]] amb paràmetre &lambda;.
* Si <math>X \sim {\Gamma}(k=v/2, \theta=2)\,</math>, aleshores ''X'' és identicament distribuïda a una &chi;<sup>2</sup>(''&nu;''), la [[distribució khi-quadrat]] amb ''&nu;'' graus de llibertat.
* Si <math>k</math> és un nombre sencer, la distribució gamma es denomina
[[distribució d'Erlang]] que serveix per a modelar el temps d'arribada fins a la <math>k</math>-ena "arribada" en un [[procès de Poisson]] d'una dimensió amb intensitat 1/&theta;.
* Si <math>X^2 \sim {\Gamma}(3/2, 2a^2)\,</math>, aleshores ''X'' segueix una [[distribució de Maxwell-Boltzmann]] amb paràmetre ''a''.
<!--
* <math>Y \sim N(\mu = \alpha \beta, \sigma^2 = \alpha \beta^2)</math> és una [[distribució normal]] com a <math>Y = \lim_{\alpha \to \infty} X</math> on <math>X \sim \Gamma (\alpha, \beta)</math>. -->
*<math>X \sim \mathrm{SkewLogistic}(\theta)\,</math>, aleshores <math>\mathrm{log}(1 + e^{-X}) \sim \Gamma (1,\theta)\,</math>
 
=== Altres ===
* Si ''X'' segueix una &Gamma;(''k'', &theta;) aleshores 1/''X'' segueix una [[distribució gamma inversa]] amb paràmetres ''k'' i &theta;<sup>-1</sup>.
* Si ''X'' i ''Y'' són &Gamma;(&alpha;, &theta;) i &Gamma;(&beta;, &theta;) independents, respectivament, aleshores ''X''&nbsp;/&nbsp;(''X''&nbsp;+&nbsp;''Y'') segueix una [[distribució beta]] amb paràmetres &alpha; i &beta;.
* Si ''X<sub>i</sub>'' són &Gamma;(&alpha;<sub>''i''</sub>,&theta;) independents, aleshores el vector (''X''<sub>1</sub>&nbsp;/&nbsp;''S'',&nbsp;...,&nbsp;''X<sub>n</sub>''&nbsp;/&nbsp;''S''), on ''S''&nbsp;=&nbsp;''X''<sub>1</sub>&nbsp;+&nbsp;...&nbsp;+&nbsp;''X<sub>n</sub>'', segueix una [[distribució de Dirichlet]] amb paràmetres &alpha;<sub>1</sub>,&nbsp;...,&nbsp;&alpha;<sub>''n''</sub>.
 
 
== Referències ==
 
* R. V. Hogg and A. T. Craig. ''Introduction to Mathematical Statistics'', 4th edition. New York: Macmillan, 1978. ''(See Section 3.3.)''
* {{MathWorld|urlname=GammaDistribution|title=Gamma distribution}}
* [http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda366b.htm Engineering Statistics Handbook]
* S. C. Choi and R. Wette. (1969) ''Maximum Likelihood Estimation of the Parameters of the Gamma Distribution and Their Bias'', '''Technometrics''', '''11'''(4) 683-69
 
32

modificacions