Equació: diferència entre les revisions

Si el [[grau d'un polinomi|grau del polinomi]] és igual a 2 i si els coeficients i les solucions cercades són reals, llavors aquests mètodes permeten trobar les solucions, anomenades arrels tal com varen descobrir els matematics catalans a l'edat mitjana (vegeu l'article [[Equació de segon grau]]). L'ús de la tècnica del [[canvi de variable]] permet estendre la família d'equacions que es resolen, així, com il·lustra l'exemple<ref group="Nota"> Aquesta equació pot servir d'exemple introductori, es tracta íntegrament al lloc vídeo: [http://www.kewego.fr/video/iLyROoaft5ZT.html Equation du second degré paramétrée] Exercici de matemàtiques</ref> e^2x&nbsp;-&nbsp;(e^a&nbsp;+&nbsp;e^b)e^x&nbsp;+&nbsp;e^a+b&nbsp;=&nbsp;0, es resol posant ''X''&nbsp;=&nbsp;e^x. Aquest mètode de canvi de variable no es limita a les equacions algebraiques.

 

 

El [[teorema fonamental de l'àlgebra]] estableix que tot polinomi de grau superior o igual a 1 i amb coeficients [[nombre real|reals]] o [[nombre complex|complexos]], admet pel cap baix una arrel complexa.<ref>Hi ha diverses formulacions d'aquest teorema. En la referència següent, es formula per: «El cos C dels nombres complexos és algebraicament tancat.», els enunciats semblen diferents però a l'article [[Teorema fonamental del àlgebra]] s'explicarà que els dos són equivalents. Adrien Douady i Régine Douady, Àlgebra i teories de Galois pàg 283</ref> Si bé aquest teorema assegura, en un cas molt general, l'existència d'una solució, no n'ofereix cap formulació explícita. El següent teorema, anomenat [[teorema d'Abel]] n'explica la raó: no existeix, en general, cap fórmula analoga<ref group="Nota">La paraula ''anàloga'' significa aquí en termes tècnics: expressable en forma de radicals. Es donaran més detalls a l'article [[teorema d'Abel]].</ref> a les que hi ha per equacions de grus més petits o iguals a quatre, capaç d'expressar les arrels. Aquest resultat, obra de [[Niels Henrik Abel|Niels Abel]],<ref>[[Niels Henrik Abel]] [http://www.abelprisen.no/nedlastning/verker/1824_abel_memoir.pdf Mémoire sur les équations algébriques, où l'on démontre l'impossibilité de la résolution de l'équation générale du cinquième degré] 1824</ref> va ser completat per [[Évariste Galois]] que indica una condició necessària i suficient per determinar en quins casos les arrels d'una equació polinòmica posseeixen una expressió d'aquesta natura.<ref>[[Evariste Galois]] ''sur les conditions de résolubilité des équations algébriques'' 1846 Journal de Liouville.</ref> La seva demostració fa servir la [[teoria de Galois]].

Històricament, les primeres equacions que es formalitzen són de natura aritmètica i daten del [[segle III]].<ref>Pel que fa a això vegeu: [http://irem.univ-poitiers.fr/irem/publicat/brochure/histoire_des_symboles/HIST_SYMB_p27-30.pdf La première inconnue] per l'IREM de Poitiers p 27</ref> Si se cerca com a solució d'una equació, no un nombre qualsevol, sinó un [[nombre enter]] i si l'equació és de coeficients enters, es parla d'equació diofàntica.<ref> Aquest terme és freqüent, es troba per exemple a: [[Jean Dieudonné|J. Dieudonné]] P. Dugac ''Abrégé d'histoire des mathématiques, 1700-1900'' Hermann (édition de 1996) {{ISBN|2705660240}} pàg. 227 a l'edició de 1986</ref> Els mètodes descrits anteriorment generalment són insuficients per resoldre les equacions diofàntiques, per fer-ho són indispensables les eines procedents de l'[[aritmètica]], o almenys de l'[[aritmètica elemental]]. Un exemple relativament simple<ref>D. Richard ''[http://laic.u-clermont1.fr/~richard/algo-euclide.pdf Algorithme d'Euclide et équation diophantienne]'' Université de Clermont1</ref> és l'equació lineal amb dues desconegudes [[Equació diofàntica ax+by = c|''a.x''&nbsp;+&nbsp;''b.y''&nbsp;=&nbsp;''c'']].

 

 

Un vast àmbit d'aplicació de les equacions diofàntiques és la informàtica. Les eines procedents dels seus estudis permeten dissenyar [[codi corrector|codis correctors]] i són la base d'algorismes de [[criptografia]]. Hi ha equacions diofàntiques que s'escriuen de manera simple, però que demanen temps de tractament prohibitius per resoldre-les, són la base dels [[criptografia de clau pública|codis secrets]]. Per exemple, l'equació ''n''&nbsp;=&nbsp;''x·y'', on ''n'' és un [[nombre natural]] fixat i on ''x'' i ''y'' són les desconegudes, no és resoluble a la pràctica, si ''n'' és el producte de dos [[nombre primer|nombres primers]] prou grans. Aquesta equació és la base del codi [[RSA]].<ref>R. Rivest A. Shamir L. Adleman ''[http://theory.lcs.mit.edu/~rivest/rsapaper.pdf A Method for Obtaining Digital Signatures and Public-Key Cryptosystems]'' Communications of the ACM, Vol. 21 (2), pp 120–126 (1978)</ref>

{{Principal|Nombre algebraic|Nombre transcendent}}

[[Fitxer:Carl Louis Ferdinand von Lindemann.jpg|right|thumb|[[Ferdinand von Lindemann|Lindemann]] demostra que cap [[equació polinòmica]] amb [[coeficient]]s [[nombre enter|enters]] no admet [[pi (nombre)|π]] com arrel.]]

 

Per exemple per a la [[arrel quadrada de 2|√<span style="text-decoration:overline">2</span>]], es planteja la qüestió de saber si és possible construir una equació de primer grau que tingui aquest valor per arrel. Es resol fàcilment: si existeix tal equació, se'n dedueix l'expressió ''2·a''²&nbsp;=&nbsp;''b''², on ''a'' i ''b'' són nombres naturals. L'anàlisi de la [[descomposició en factors primers]] mostra que el terme de la dreta conté el factor 2 un nombre parell de vegades i el de l'esquerra un nombre senar. Aquesta observació demostra que √<span style="text-decoration:overline">2</span> no és un nombre racional.<ref group="Nota">Es donaran més detalls a l'article [[arrel quadrada de dos]]</ref> En canvi, és per definició algebraic, ja que és solució de l'equació ''X''²&nbsp;-&nbsp;2&nbsp;=&nbsp;0.