Integral de moviment: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m Robot treu blancs del tag |
m minúscula al tag |
||
Línia 1:
Una ''' integral de
En la teoria d'equacions diferencials ordinàries es generalitza el concepte d{{'}}'''integral primera '''. Una integral primera depèn de les variables de l'equació diferencial i les seves derivades i resulta constant quan s'introdueix en ella la dependència respecte al "temps" o variable dependent.
Línia 7:
{{Equació|
<math> C (x_i, y_i) \ \mbox{integral de moviment}\quad \iff \ \quad
\tilde{C}(t): = C (q_i (t), \dot{q}_i (t)) = \mbox{cte.}</
||Left}}
A continuació es presenten algunes integrals de moviment per a sistemes físics d'interès com l'[[oscil·lador harmònic]] i el [[Problema dels dos cossos|problema de Kepler]], en les seves versions newtonianes.
Línia 22:
<math> C_1 (q, \dot{q}) = \frac{1}{2}(\dot{q}^2+\omega^2 q^2), \qquad
C_2 (q, \dot{q}, t) = \arctan \left (\frac{\omega q}{\dot{q}}\right) - \omega t
</
||Left}}
Per veure-ho n'hi ha prou de considerar la derivada total respecte al temps i substituir-hi les equacions del moviment:
Línia 32:
\frac{- \omega q \ddot{q}}{\dot{q}^2+\omega^2q^2}+\frac{\omega \dot{q}^2}{\dot{q}^2+\omega^2q^2}- \omega = & \omega \frac{\omega^2q^2+\dot{q}^2}{\dot{q}^2+\omega^2q^2}- \omega = 0 \\
\end{matrix}
</
||Left}}
=== Problema de Kepler ===
{{AP|Problema dels dos cossos}}
En el problema de dos cossos
{{Equació|
<math> \mathbf{L}\cdot \mathbf{A}= L_xA_x+L_yA_y+L_zA_z, \qquad
E_m = - \frac{\mu^2 (1 - \|\mathbf{A}\|^2)}{2 \|\mathbf{L}\|^2}
</
||Left}}
Línia 69:
== Integrals de moviment en mecànica quàntica ==
Els conceptes anteriors poden estendre's a la [[mecànica quàntica]], on una integral o constant de moviment és un [[observable]] del sistema. En un sistema conservatiu, qualsevol observable que no depengui explícitament del temps i el [[Commutador de dos operadors|commutador]] amb el [[
== Referències ==
| |||