Equipotència: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
mCap resum de modificació |
m Funció característica (matemàtiques) |
||
Línia 42:
** En fet, es pot generalitzar açò: dos intervals de <math>\mathbb{R}</math> qualssevulla (posat que cada un contenga almenys dos punts) són equipotents.
* Essent un conjunt <math>\Omega</math>, el conjunt <math>\mathcal{P}(\Omega)</math> de les seves parts és equipotent al conjunt <math>\{0,\, 1\}^\Omega</math> de les funcions <math>\Omega \to \{0,\, 1\} </math>. <br> Per provar-ho, s'associa a tota part ''A'' de <math>\Omega</math> la seva [[Funció característica (matemàtiques)|funció característica]] <math>\chi_A : \Omega \to \{0,\, 1\} </math> definida així: per a tot element ''x'' de <math>\Omega</math>, <math>\chi_A(x) = 1 </math> si <math>x \in A</math> i <math>\chi_A(x) = 0 </math> si <math>x \notin A</math>. <br> L'aplicació <math>\mathcal{P}(\Omega) \to \{0,\, 1\}^\Omega,\, A \mapsto \chi_A</math> és bijectiva : si ''f'' és una funció <math>\Omega \to \{0,\, 1\} </math> i si es defineix <math>A = \{x \in \Omega \mid f(x) = 1\}</math>, és clar que ''A'' es l'única part de <math>\Omega</math> tal que <math>\chi_A = f</math>.
* Segons un teorema clàssic de Cantor, l'[[argument diagonal de Cantor]]), el conjunt <math>\mathbb{N}</math> dels enters naturals ''no és'' equipotent al conjunt <math>\mathbb{R}</math> dels reals. Més generalment, un conjunt <math>\Omega</math> ''no és'' equipotent al conjunt <math>\mathcal{P}(\Omega)</math> de les seves parts.
| |||