|
:
{{FR|data=febrer de 2014}}
{{millorar text|data=febrer de 2014}}
{{MF|data=febrer de 2014}}
Una '''recta''', o '''línia recta''', és un objecte geomètric format per un conjunt d'infinits [[punt (geometria)|punts]] infinitament llarg, i infinitament prim que no té [[curvatura]]. També es diu que els punts d'una recta estan '''alineats'''.
== Posicions relatives de les rectes ==
* Dues rectes són '''coplanàries''' si poden estar contingudes en un mateix pla. En cas contrari es diu que les rectes '''es creuen'''.
* Dues rectes són '''paral·leles''' si són coplanàries i no tenen cap punt en comú.
* Dues rectes són '''secants''' si tenen un sol punt en comú. En aquest cas, també són coplanàries (vegeu la demostració més endavant).
== Les rectes en geometria ==
En [[geometria]], la recta és un [[conjunt]] d'infinits [[punt (geometria)|punts]], subconjunt parcial dels infinits punts que formen un [[pla]] i que compleix unes determinades propietats. És un ens fonamental (juntament amb el punt i el pla) que no admet una definició més concreta. Simplement, s'enuncien les propietats i se n'accepta l'existència de forma axiomàtica (vegeu [[axiomes de la geometria]]). Aquestes propietats (no demostrables) són les següents:
1. Per dos punts diferents hi passa una recta i només una.
2. Si dos punts d'una recta estan en un pla, llavors tots els altres punts de la recta també estan continguts en aquest pla.
3. La recta és un conjunt de punts linealment ordenat, obert i dens, on:
::* ''Linealment ordenat'' significa que, donada una terna de punts, A, B i C, si A precedeix B i B precedeix a C, llavors A precedeix a C.
::* ''Obert'' significa que no existeix ni un primer ni un últim punt.
::* ''Dens'' significa que entre dos punts d'una recta sempre n'hi ha infinits més, de manera que no existeixen punts consecutius.
4. Tota recta continguda en un pla estableix una divisió dels punts del pla no continguts en la recta en dues úniques regions tals que tot punt del pla exterior a la recta pertany a una o altra regió, i de manera que, escollits dos punts que pertanyin a diferents regions, la recta que els conté té un punt situat entre ells que pertany a la recta original i viceversa.
5. Per un punt exterior a una recta, hi passa una (i només una) recta tal que les dues estan contingudes en un mateix pla i no tenen entre elles cap punt en comú (paral·lela).
6. Donada una classificació dels punts d'una recta en dues regions que compleix:
::* Existeixen punts de la recta d'una i altra regió.
::* Tot punt de la recta pertany a una o altra regió.
::* Tot punt d'una regió precedeix a tot punt de l'altra regió.
:: llavors existeix un sol punt de la recta tal que tots els punts que el precedeixen pertanyen a la primera regió i tots els punts que el segueixen pertanyen a la segona regió.
''Temes relacionats amb els punts 4 i 6'': [[semiplà]], [[semirecta]].
=== Altres propietats de les rectes ===
* Una recta i un punt no contingut en ella determinen un pla que passa per ells.
: '''Demostració''': per definició de recta, aquesta està formada per infinits punts, dels quals se'n consideren dos. Així, es té un conjunt de 3 punts no alineats. Una de les propietats axiomàtiques del [[pla]] és que per tres punts no alineats hi passa un pla i només un. Aquest pla que passa pels tres punts passa pel punt no contingut en la recta i també per la recta, ja que una de les propietats axiomàtiques de la recta (la segona) diu que si dos punts d'una recta estan en un pla, llavors tots els altres punts de la recta també estan continguts en aquest pla, [[Quod erat demonstrandum|Q.E.D.]].
* Dues rectes que es tallen determinen un pla que passa per elles (i per tant, són coplanàries).
:'''Demostració''': per definició de recta, aquesta està formada per infinits punts, dels quals se'n considera un d'una de les rectes que interseca. Aplicant la propitat anterior, se segueix que existeix un pla que passa per aquest punt i que conté tota l'altra recta, en particular el punt comú entre les dues rectes. Aquest pla, també conté la primera recta, ja que una de les propietats axiomàtiques de la recta (la segona) diu que si dos punts d'una recta estan en un pla, llavors tots els altres punts de la recta també estan continguts en aquest pla, QED.
* Si una recta (''a'') talla a una altra recta ''b'', llavors ''a'' també talla totes les paral·leles a ''b'' contingudes en el pla que determinen ''a'' i ''b''.
:'''Demostració''', per reducció a l'absurd: se suposa ''a'' que no talla a una paral·lela de ''b'' (''c''), continguda en el mateix pla que defineixen ''a'' i ''b'', que intersequen al punt I. Llavors, pel punt I, exterior a ''c'' existirien dues rectes paral·leles a ''c'', cosa que entra en contradicció amb una propietat axiomàtica de la recta (la cinquena).
* Si dues rectes (''a'' i ''b'') són paral·leles a una tercera (''c''), llavors són paral·leles entre si (propietat transitiva).
:'''Demostració''' (encara no disponible a Viquipèdia).
== Les rectes en matemàtiques ==
| 