Teoria de la demostració: diferència entre les revisions

Aquest procediment de deducció mitjançant regles de formació de fórmules, axiomes i regles d'inferència és un enfocenfocament sintàctic. Alternativament molts sistemes lògics poden ser tractats construint una interpretació semàntica dels mateixos mitjançant la [[teoria de models]]. Aquest enfocenfocament busca que un teorema sigui una proposició que es dóna en tots els models possibles d'una teoria (una única teoria en general admet més d'un model, aquests coincideixen en els aspectes centrals definits a la teoria i difereixen en aspectes secundaris no tractats per la teoria). Una proposició que es satisfà en tots els models és una proposició vàlida, els sistemes lògics estan construïts de tal manera que tota proposició deduïble de la teoria sigui a més una proposició vàlida en tots els models de la teoria.

Històricament el sorgiment de la teoria de la demostració es remunta a la crisi fundacional de les matemàtiques a principis del segle XX. Diverses [[paradoxa|paradoxes]] sorgides en la [[teoria de conjunts]] i algunes informalitats usades comunament al [[càlcul infinitesimal]], van convèncer alguns matemàtiques que era important fonamentar més rigurosament el punt de partida d'algunes branques de la matemàtica. Entre aquests matemàtics es trobava en [[David Hilbert]] i alguns dels seus col·laboradors. En resposta a la crisi fundacional, aquests matemàtics van proposar un enfocenfocament que amb el temps s'anomenà el ''pograma de Hilbert''.

Bàsicament aquest enfocenfocament formalista consistia a axiomatitzar de manera explícita les diverses branques de la matemàtica mitjançant un conjunt d'axiomes explícits expressables en un [[llenguatge formal]] ben definit de tal manera que es pogués demostrar la [[Consistència (lògica)|consistència]] de les diverses parts de la matemàtica. Hilbert i altres matemàtics tenien confiança en que per qualsevol àrea de les matemàtiques seria possible construir un conjunt de regles que portessin a demostrar en un nombre finit de passos si una proposició era una proposició vàlida. Tanmateix [[Kurt Gödel|K. Gödel]] va poder demostrar el [[1931]] que aquest enfocenfocament tenia limitacions, fins i tot per un sistema tan central en les matemàtiques como el de la artimètica dels nombres naturals.